解析学(大学)

正の整数を添え字とする点列について，添え字をより一般の有向集合に変えたものをネットあるいは有向点族・有向点列といいます。一般の位相空間を扱うにあたって，点列では不十分であることが知られていますが，ネットであれば，一般の位相空間を特徴づけることができます。ネットについて，定義から位相の特徴づけまで，証明付きでかつ点列では不十分であることも確認しながら，進めていきましょう。

位相幾何学者の正弦曲線，あるいは英語でTopologist's sine curveと呼ばれる曲線は，xy平面における曲線y=sin (1/x)に原点を付加した図形です。連結だが弧状連結でない・局所連結でないものとして有名です。位相幾何学者の正弦曲線について考えましょう。

長い直線とは，局所的には直線と同相ですが，実際よりはるかに長い直線で，順序数の間を連続的に埋める形で定義されます。長い直線について，その位相的性質を調べましょう。順序数に関する知識はある程度既知とします。

写像f点列連続であるとは，x_n→xならばf(x_n)→f(x)が成り立つことを言います。点列連続性は，定義域が第一可算な空間であれば，連続性と同値ですが，一般には連続性より弱い概念です。このことを証明し，さらに一般には点列連続だが連続でない例があるので，それを紹介しましょう。

有向集合とは，任意の2元に上界があるような前順序集合のことをいいます。位相空間におけるネット(有向点族)を定義する際の添え字としても用いられます。有向集合について，詳しく見ていきましょう。

順序位相とは，全順序集合における，順序によって定まる位相のことで，開区間(α, β)は開集合です。順序位相についての定義を紹介し，また順序数における順序位相について掘り下げて考えます。

順序数とは，整列集合の構造を表すシンボルです。整列集合はどの2つの整列集合も必ず「大小比較」できるため，順序数自体も整列集合になります。本記事では，整列集合の構造を表す「順序数」に関して，集合と位相の観点から基本的なことをまとめます。数学基礎論に深入りすることはなく，厳密性よりも感覚的な説明にとどめます。

辞書式順序とは，順序集合の直積集合に定まる順序の一つで，国語辞書の単語が並ぶ順番と同じようなものです。まず，有限個の直積における辞書式順序の定義・具体例を紹介し，それから，無限個を含む辞書式順序を考えます。最後に，整列集合たちの辞書式順序が整列集合になるか否かを考えましょう。