大学教養

確率論

ビュフォンの針の理論

ビュフォンの針(Buffon's needle)とは,針を落として,等間隔に並んだ線と交わる確率を求めるという話です。円が全く絡んでいないにもかかわらず,確率に円周率が出てくるため,不思議に思われることが多いです。ビュフォンの針について,その確率を数学的に導出しましょう。
解析学(大学)その他

無限積の定義と性質・無限和の収束との関係

無限積あるいは無限乗積 (infinite product) とは,無限個の積のことをいいます。無限積の定義と,その収束性について,無限和との関連性や絶対収束を含めて述べましょう。
解析学(大学)その他

【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく

コーシーの関数方程式 (Cauchy's functional equation) とは,f(x+y)=f(x)+f(y)となる関数方程式のことを言います。これの解fを求め,さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。
線形代数学

ハメル基底とは~有理数上実数の基底~

ハメル基底 (Hamel basis)とは,実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度,関連する話題を紹介しましょう。
線形代数学

ベクトル空間には必ず基底が存在する証明~選択公理から~

任意のベクトル空間には,必ず基底が存在することを証明します。証明には,選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
線形代数学

Spanの意味とは【線形結合】

Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包;linear span)を指します。これは,Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
解析学(大学)その他

ヤングの不等式の証明とその一般化

ヤングの不等式(Young's inequality)とは,任意のa,b>0 と 1/p+1/q=1をみたす p,q>1 に対し,ab ≦ a^p/p + b^q/q という不等式のことを言います。これについて,証明とその発展形を紹介しましょう。
線形代数学

二次形式とその行列表示

二次形式 (quadratic form) とは,2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について,その定義と,行列を用いた表し方を解説しましょう。
線形代数学

行列の特異値とは~定義と性質~

行列の特異値とは,一般のm×n行列に対して定義される固有値みたいなものです。厳密には,AA^*のように正方行列にしてから,固有値を考えます。行列の特異値について,定義と性質を述べましょう。
線形代数学

列ベクトルと行ベクトルの定義と違い

数を縦に一列に並べたものを列ベクトルといい,数を横に一列に並べたものを行ベクトルといいます。列ベクトルと行ベクトルについて,その定義と基本的な違いを解説しましょう。
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