微分積分学(大学)

微分積分学，ベクトル解析におけるグリーンの定理とは，x,y軸方向の線積分を，面積分に置き換える公式です。グリーンの公式ということもあります。グリーンの定理を使うことで，積分計算を簡略化できることがあります。グリーンの定理について，その具体例と証明を簡潔に分かりやすく紹介しましょう。

項別積分とは，「無限和の積分は，積分の無限和と等しい」という定理で，項別微分とは，「無限和の微分は，微分の無限和と等しい」という定理です。項別積分は無限和と積分の交換定理で，項別微分は無限和と微分の交換定理です。もっと言うと，無限和は有限和の極限，微分は差分の極限の形でかけるので，項別積分は極限と積分の交換定理で，項別微分は極限と極限の交換定理です。これについて，証明と具体例を紹介しましょう。

ガウス関数e^-x^2の積分であるガウス積分 (Gaussian integral) について，そのさまざまな形を紹介し，5通りの証明を紹介します。証明は，極座標変換・直交座標変換・ガンマ関数・ウォリス積分・回転体の体積を用いたものを順に紹介します。

重積分の変数変換の方法と，その例題を2つ紹介します。まずは2重積分の場合を考え，それから一般の多重積分の場合について述べます。例題は，一次変換の場合と，極座標変換の場合を扱います。