微分積分学(大学)

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ガウス積分のさまざまな形とその証明5つ

e^-x^2の積分であるガウス積分 (Gaussian integral) について,そのさまざまな形を紹介し,5通りの証明を紹介します。証明は,極座標変換・直交座標変換・ガンマ関数・ウォリス積分・回転体の体積を用いたものを順に紹介します。
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重積分の変数変換の方法とその例題~極座標変換の解説付き~

重積分の変数変換の方法と,その例題を2つ紹介します。まずは2重積分の場合を考え,それから一般の多重積分の場合について述べます。例題は,一次変換の場合と,極座標変換の場合を扱います。
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包絡線とは~定義と求め方と例題4つ~

「包絡線 (envelope) 」とは,曲線族全てに接しているような曲線のことを言います。これについて,その厳密な定義と,求め方の例題を解説しましょう。
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重積分とは~定義と面積確定集合~

大学数学で初めて出てくる積分である「重積分 (multiple integral) 」について,その定義と,面積確定集合とは何かについて,図解付きで解説します。
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ラグランジュの未定乗数法とは~意味と証明~

ラグランジュの未定乗数法 (Lagrange multiplier) は,多変数関数における,条件付き極値問題を解く方法を指します。これについて,その内容とイメージ,証明を解説しましょう。
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【級数】アーベルの収束判定法とその証明

アーベルの収束判定法 (Abel's test) と呼ばれる収束判定法について,その主張と証明を紹介しましょう。
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2変数・多変数におけるテイラー展開・マクローリン展開

2変数,あるいはより一般に,多変数におけるテイラーの展開・マクローリン展開を,テイラーの定理・マクローリンの定理も同時に述べながら解説します。
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接平面の方程式とその導出証明

曲面z=f(x,y)の接平面の方程式はz=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+f(a,b)であり,曲面f(x,y,z)=0の接平面の方程式はf_x(a,b,c)(x-a)+f_y(a,b,c)(y-b)+f_z(a,b,c)(z-c)=0となります。これについて,その導出の証明を行いましょう。
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勾配(grad)の定義と意味

数学における勾配 (gradient) とは,多変数関数において各偏微分を並べたもので,grad f や ∇ f とかきます。 これについて,その定義と意味(勾配の向きは最大傾斜方向になっており,その大きさは勾配の大きさであること)を解説しましょう。
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方向微分とは~定義・性質・求め方を詳しく~

多変数関数における「方向微分」ないしは「方向微分係数」(directional derivative) とは,ある方向のみを取り出した微分を指します。これについて,その定義と性質・求め方を詳しく解説しましょう。
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