高校発展(理系)

「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は，高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。これは，実数の連続性と数列の極限を厳密に定義するε-N論法を用いて証明されます。これについて証明しましょう。

極限の基本的な性質（極限の一意性・和の保存・積の保存・商の保存・大小関係の保存）について証明します。イプシロンエヌ・イプシロンデルタ論法の演習問題としても最適なので，しっかり確認していきましょう。

数学における「追い出しの原理」といわれるものについて，その定理と，大学で習うイプシロンエヌ論法・イプシロンデルタ論法を用いた証明を行います。数列版・関数版の両方の証明を行います。

高校数学で扱う「はさみうちの原理 (挟み撃ちの原理; squeeze theorem)」は，大学数学におけるイプシロンエヌ論法・イプシロンデルタ論法を用いて厳密に証明されます。これについて数列版・関数版の両方について丁寧に紹介しましょう。

正の項と負の項が交互に現れる級数を交代級数 (alternating series) といいます。今回は，ライプニッツの定理ともいわれる，単調減少かつ０に収束する非負な数列の交代級数の和が収束することを証明します。最後には，その一般化も述べます。