高校発展(理系)

微分積分学(大学)

上に有界な単調増加数列は収束することの証明

「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は,高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。これは,実数の連続性と数列の極限を厳密に定義するε-N論法を用いて証明されます。これについて証明しましょう。
微分積分学(大学)

極限の性質6つの証明(一意姓,和,積,商,大小関係)

極限の基本的な性質(極限の一意姓・和の保存・積の保存・商の保存・大小関係の保存)について証明します。イプシロンエヌ・イプシロンデルタ論法の演習問題としても最適なので,しっかり確認していきましょう。
微分積分学(大学)

追い出しの原理とその厳密な証明~数列版・関数版~

数学における「追い出しの原理」といわれるものについて,その定理と,大学で習うイプシロンエヌ論法・イプシロンデルタ論法を用いた証明を行います。数列版・関数版の両方の証明を行います。
微分積分学(大学)

はさみうちの原理とその厳密な証明~数列版・関数版~

高校数学で扱う「はさみうちの原理 (挟み撃ちの原理; squeeze theorem)」は,大学数学におけるイプシロンエヌ論法・イプシロンデルタ論法を用いて厳密に証明されます。これについて数列版・関数版の両方について丁寧に紹介しましょう。
微分積分学(大学)

中間値の定理とは~主張・証明と何が本質なのかを解説~

中間値の定理とは,「連続関数なら,間の値を全て取る」という一見当たり前の定理です。これについて,その主張と,その証明を紹介します。さらに,根底にある「当たり前の性質」が何なのかも考えましょう。最後に位相空間論の言葉を用いた主張も述べます。
微分積分学(大学)

級数が絶対収束すれば収束することの2通りの証明

ある数列に対し,その絶対値の和が収束することを絶対収束といいます。級数が絶対収束すれば元の数列が収束することを,一つはコーシー列を使った一般的な方法で,もう一つは高校生にも理解できる方法で証明してみたいと思います。
微分積分学(大学)

交代級数の収束性の証明とその具体例

正の項と負の項が交互に現れる級数を交代級数 (alternating series) といいます。今回は,ライプニッツの定理ともいわれる,単調減少かつ0に収束する非負な数列の交代級数の和が収束することを証明します。最後には,その一般化も述べます。
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