確率論

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さまざまな確率分布まとめ

本記事では,名前の付いた,さまざまな確率分布 (probability distribution) についてまとめます。
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コーシー分布の定義と性質とその証明

コーシー分布 (Cauchy distribution) は,期待値が定義できず,正規分布より減衰が遅い,裾の厚い分布(裾の重い分布)として有名です。確率密度関数はp(x) = 1/π(x^2+1)となります。これについて,その定義と性質の証明を詳しく述べましょう。
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負の二項分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明

負の二項分布NB(r,p)について,その期待値(平均)・分散・標準偏差を提示し,これについて「直接証明する方法」「特性関数の微分を用いる方法」の2通りで証明しましょう。
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負の二項分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数とその導出

負の二項分布NB(r, p)における,積率母関数(モーメント母関数)・特性関数をそれぞれ提示し,それの導出ついての証明をおこないましょう。
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負の二項分布の定義と例と性質まとめ

コイン投げをしたときの失敗回数を固定し,その失敗回数に到達するまでの成功回数を数える負の二項分布NB(r, p) (negative binomial distribution) について,その定義と例と性質をまとめましょう。
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マルコフの不等式とその証明をわかりやすく厳密に

確率変数に対する不等式P(|X|≧a) ≦ E[|X|]/aをマルコフの不等式 (Markov's inequality) といいます。これについて,分かりやすくかつ厳密に証明しましょう。最後には,一般の測度論に関するマルコフの不等式を紹介します。
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正規分布の標準化とその証明

X ~ N(μ, σ^2)のとき,Z = (X-μ)/σ とスケール変換すると,Z ~ N(0,1)になります。これを,正規分布の標準化 (standardization) といいます。これについて,詳しく述べ,証明しましょう。
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正規分布の歪度・尖度とその導出証明

正規分布の歪度(わいど, skewness)・尖度(せんど, kurtosis)は,両方とも0になります。これについて,その導出の証明を行いましょう。
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正規分布の再生性とその詳しい証明

正規分布の再生性 (reproductive property) について,和の再生性と定数倍の再生性に分けて,それぞれを確率密度関数や特性関数を用いて証明しましょう。
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正規分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明

正規分布の期待値(平均)・分散・標準偏差について,その導出の証明を行います。「定義から直接証明する方法」と「特性関数の微分を用いた方法」の2通りで証明しましょう。
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