測度論

測度論

測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明

R^Nにおける可測集合は,それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし,零集合でない可測集合を2つ用意して,A+Bを考えると,これは開集合を含むようになります。シュタインハウスの定理(Steinhaus's theorem)といわれる本定理を紹介し,証明しましょう。
測度論

【ヴィタリ集合】ルベーグ非可測集合の存在とその証明

ヴィタリ集合(vitali set)とは,剰余群R/Qにおける各代表元の集合を指し,選択公理を仮定することで存在が認められます。ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合の例として有名です。ヴィタリ集合について,その構成とルベーグ非可測であることの証明を行いましょう。
測度論

本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か

測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは,零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について,ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
測度論

単調族の定義と単調族定理の証明

集合の部分集合族が「単調族 (monotone class) 」であるとは,無限個の集合の上昇列や下降列に関して閉じていることを言います。単調族について,その詳しい定義と,有名で大切な単調族定理の証明を行いましょう。
測度論

極限と積分の順序交換定理6つと交換できない例3つまとめ

極限と積分の順序交換定理6つの主張をまとめて紹介し,さらに極限と積分が交換できない例についても述べましょう。本記事はまとめ記事とし,実際の証明などは定理の主張後にあるリンク先を見てください。
測度論

Schefféの補題とその簡単な証明

Schefféの補題 (Scheffé's lemma) とは,収束定理(極限と積分の交換定理)の1つで,絶対値をつけた積分の値が消滅しなければ,極限と積分を交換することが可能であるという定理です。Schefféの補題について,その主張と証明を行いましょう。
測度論

概一様収束とエゴロフの定理の証明

概一様収束とは,任意に小さなある正の測度の集合を除けば一様収束するという意味です。そして,有限測度空間で各点収束すれば,概一様収束するというのがエゴロフの定理です。概一様収束とエゴロフの定理について,その定義と証明を解説しましょう。
測度論

微分と積分の交換定理とその証明・具体例2つ

ルベーグの収束定理(優収束定理)をもととした,微分と積分の交換定理について,その主張と証明・さらには具体例を挙げましょう。
測度論

σ有限な測度とは~定義と例・反例~

σ-有限測度 (σ-finite) とは,μ(A_n)<∞ (n≧1) かつ A_n ↑ X となる可測集合列 {A_n} が取れることを言います。σ-有限測度について,定義と具体例を挙げましょう。
測度論

一様可積分性とヴィタリの収束定理

一様可積分性 (uniform integrability) は,とくに有限測度のときに有用です。ここでは,一様可積分性の定義と,一様可積分のときに用いることのできる「ヴィタリの収束定理 (Vitali convergence theorem)」について解説していきましょう。
数学の景色をフォローする
タイトルとURLをコピーしました