線形代数学

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ハメル基底とは~有理数上実数の基底~

ハメル基底 (Hamel basis)とは,実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度,関連する話題を紹介しましょう。
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ベクトル空間には必ず基底が存在する証明~選択公理から~

任意のベクトル空間には,必ず基底が存在することを証明します。証明には,選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
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Spanの意味とは【線形結合】

Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包;linear span)を指します。これは,Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
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二次形式とその行列表示

二次形式 (quadratic form) とは,2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について,その定義と,行列を用いた表し方を解説しましょう。
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行列の特異値とは~定義と性質~

行列の特異値とは,一般のm×n行列に対して定義される固有値みたいなものです。厳密には,AA^*のように正方行列にしてから,固有値を考えます。行列の特異値について,定義と性質を述べましょう。
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列ベクトルと行ベクトルの定義と違い

数を縦に一列に並べたものを列ベクトルといい,数を横に一列に並べたものを行ベクトルといいます。列ベクトルと行ベクトルについて,その定義と基本的な違いを解説しましょう。
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線形同型写像とベクトル空間の同型

線形同型写像とは,全単射な線形写像を指します。このような写像が存在する2つのベクトル空間は同型であるといい,全く同じものとして扱うことが可能です。線形同型写像とベクトル空間の同型について,基本的なことをおさえましょう。
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正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列 (positive definite matrix) とは内積について <Ax, x>>0が成り立つ行列で,半正定値行列とは,<Ax, x>≧0 が成り立つ行列です。正定値行列・半正定値行列について,その定義と性質を紹介しましょう。
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グラム行列の定義と主な性質3つ

グラム行列 (Gram matrix) とは,(i, j)成分がベクトルx_i,x_jの内積になる行列のことです。これについて,定義と性質を証明付きで解説しましょう。
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スカラー行列とは~定義と大事な性質~

スカラー行列 (scalar matrix) とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
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