線形代数学

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正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列 (positive definite matrix) とは内積について <Ax, x>>0が成り立つ行列で,半正定値行列とは,<Ax, x>≧0 が成り立つ行列です。正定値行列・半正定値行列について,その定義と性質を紹介しましょう。
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グラム行列の定義と主な性質3つ

グラム行列 (Gram matrix) とは,(i, j)成分がベクトルx_i,x_jの内積になる行列のことです。これについて,定義と性質を証明付きで解説しましょう。
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スカラー行列とは~定義と大事な性質~

スカラー行列 (scalar matrix) とは,単位行列を用いて A=aI_n のように書ける行列のことで,まるでスカラーのように扱える行列を指します。これについて,定義と大事な性質を1つ紹介しましょう。
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行列の固有多項式・最小多項式の定義・求め方・性質

正方行列における,固有多項式 (characteristic polynomial)・最小多項式 (minimal polynomial) について,その定義と求め方,性質を順番に解説していきましょう。
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ケーリーハミルトンの定理とその厳密な証明をわかりやすく

ケーリーハミルトンの定理(Cayley-Hamilton theorem)とは,正方行列Aの固有多項式p_A(λ)に対し,p_A(A)=O_nとなる定理です。今回は,最小多項式の基にもなっているケーリーハミルトンの定理について紹介します。
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固有値に関するフロベニウスの定理とその証明

行列の固有値における,フロベニウスの定理 (Frobenius theorem) を紹介し,証明をていねいに行いましょう。
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歪エルミート行列の定義と重要な性質5つ

歪エルミート行列(わいえるみーとぎょうれつ,反エルミート行列)とは,随伴行列(共役転置)をとると元の行列の-1倍になるような行列を指します。すなわち,A^*=-Aですね。これについて,その定義と性質を解説しましょう。
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交代行列の定義と重要な性質5つ

交代行列 (反対称行列,歪対称行列,alternating matrix) とは,転置行列が元の行列の-1倍になる行列,すなわちA^T =-Aをみたす行列を指します。
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エルミート行列の定義と性質4つとその証明

エルミート行列 (Hermitian matrix) とは,随伴行列(共役転置)と元の行列が等しい正方行列を指します。これについて,定義・具体例と性質を証明付きで紹介しましょう。
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対称行列の定義と性質4つとその証明

対称行列 (symmetric matrix) とは,自身とその転置行列が同じである行列を指します。対称行列の定義・性質4つを紹介しましょう。
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