集合と位相

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【距離空間】全有界の定義・例と有界との違いをわかりやすく

距離空間あるいはその部分集合が全有界であるとは,任意に小さい有限個の円板で,その集合全体が覆えることを言います。距離空間における全有界性について,有界性との違いを比較しながらその定義・例を理解していきましょう。全有界であれば有界であることの証明も行います。
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ツォルンの補題とその証明のスケッチ・応用例

ツォルンの補題 (Zorn's lemma) は,補題と言われていますが数学における大事な定理の1つで,選択公理と同値です。ツォルンの補題について,その主張と証明のスケッチを紹介し,さらにツォルンの補題を用いて証明される定理について述べましょう。
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整列集合と整列可能定理

整列集合とは,「間隔を空けてきれいに順番に並んだ」集合のことで,具体的には,どんな部分集合を持ってきてもちゃんと大小関係として最小値が定まるような順序集合のことを言います。整列集合の定義と,重要な性質を証明し,さらに選択公理と同値で驚愕の定理である,整列可能定理を紹介しましょう。
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超限帰納法とは~数学的帰納法の一般化~

超限帰納法 (transfinite induction) とは,数学的帰納法の議論をより一般の整列集合に適用したものです。超限帰納法について,その内容を紹介しましょう。
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ベルンシュタインの定理とその証明【双方単射があれば全単射がある】

ベルンシュタインの定理(Schröder–Bernstein theorem)とは,2つの集合それぞれを定義域・終域とする双方向の単射があれば,全単射があるという定理です。ベルンシュタインの定理について,イメージ図を交えて証明していきましょう。
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完備とは~実数の完備性・距離空間の完備性~

数学において,完備 (complete) であるとは,コーシー列が常に収束することを指します。これについて,「実数における完備性」と「距離空間における完備性」を分けて解説しましょう。
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同値類と商集合をわかりやすく図解~定義と具体例4つ~

集合において,同値関係の元を集めた「同値類 (equivalence class) 」と,それらを集めた集合である「商集合 (quotient set) 」は,専門数学における難しい概念の1つでしょう。これについて,具体例・図を交えて解説します。
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同値関係の定義と重要な具体例5つ

同値関係 (equivalence relation) とは,二項関係~のうち,反射律・推移律・対称律をみたすものを言います。これについて,その定義と,重要な具体例5つを紹介しましょう。
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半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺

半順序集合・全順序集合といった「順序集合」とは,集合内に順序(いわゆる大小関係)が定まった集合といえます。これらについて,その定義と具体例4つを紹介し,順序を保つ写像など,それに関連した知識も紹介します。
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反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つ

二項関係 (binary relation) の性質である,反射律 (reflexive)・推移律 (transitive)・対称律 (symmetric)・反対称律 (antisymmetric) の定義と具体例7つを紹介します。
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