集合と位相

集合と位相

可算集合と非可算集合(可算無限・非可算無限)

専門数学を理解するにあたって重要な概念の一つの「無限の大小」について,すなわち可算集合(countable set, 可算無限)と非可算集合(非可算無限)について,その定義と性質を紹介しましょう。非可算集合については,連続体濃度を扱います。
集合と位相

集合の濃度をわかりやすく丁寧に

集合の「濃度 (cardinality) 」とは,集合の要素の個数の概念を,無限個の集合についても適用できるよう一般化したものです。これの定義について,分かりやすく丁寧に説明していきましょう。
集合と位相

べき集合とは何かをわかりやすく~定義と具体例と性質~

大学数学において,「べき集合 (power set)」は詰まりやすい概念の1つでしょう。一言でいうと,べき集合とは,ある集合の部分集合全体の集合を指します。これについて,その定義を,具体例を交えてわかりやすく解説し,最後に性質も述べます。
微分積分学(大学)

有理数・無理数の稠密性の定義とその証明

大学教養の微分積分学における実数上の「稠密性(ちゅうみつせい, dense)」の概念について,その定義を紹介し,さらに有理数・無理数が実数上稠密であることを証明します。最後には位相空間論における稠密性についても触れます。
集合と位相

上極限集合・下極限集合の定義とその包含関係の証明

無限個の集合に対して定義される2つの極限集合(上極限集合・下極限集合)について,その定義と,日本語に直したときの意味と,包含関係の証明をします。他にも,極限集合が存在する十分条件や,数列と集合列の極限の比較も行います。
集合と位相

写像の像・逆像と集合との演算証明

像・逆像と集合との演算とその証明をします。f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2), f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2), f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1} (B_1) \cup f^{-1}(B_2), f^{-1} (B_1 \cap B_2) = f^{-1} (B_1) \cap f^{-1}(B_2)
微分積分学(大学)

中間値の定理とは~主張・証明と何が本質なのかを解説~

中間値の定理とは,「連続関数なら,間の値を全て取る」という一見当たり前の定理です。これについて,その主張と,その証明を紹介します。さらに,根底にある「当たり前の性質」が何なのかも考えましょう。最後に位相空間論の言葉を用いた主張も述べます。
微分積分学(大学)

ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理とその証明

大学教養数学のさまざまなところに登場する,ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano–Weierstrass Theorem) について紹介します。まず1次元の場合を紹介し,次に多次元の場合を紹介して,最後に位相空間論の言葉を用いて述べます。
集合と位相

距離空間の定義と6つの具体例~ユークリッド・マンハッタン距離~

距離空間 (metric space) とは,距離の構造にあたる距離関数 (distance function) を備えた集合のことです。そんな距離空間について確認し,ユークリッド距離やマンハッタン距離などを含む5つの具体例について確認していきましょう。
微分積分学(大学)

【ディニの定理】各点収束から一様収束が従う定理とその証明

連続関数の列が単調増加に連続関数へ各点収束するとき,一様収束が言える「ディニの定理 (Dini's theorem) 」と呼ばれる定理があります。本記事ではこの定理の紹介とポイント解説,最後に証明を行います。証明のみ位相空間論の知識が必要です。
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