集合と位相

位相空間における局所コンパクト空間とは，各点がコンパクトな近傍を持つ空間のことを言います。ただし，文献によって定義が異なることがあるため，注意が必要です。本記事では，局所コンパクトの，さまざまな流儀の定義を紹介し，その定義がハウスドルフ空間のときは同値になることや，その他局所コンパクト空間・局所コンパクトハウスドルフ空間の性質を証明付きで解説します。

実数における右順序位相 (right order topology) とは，(a,∞)の形を開集合系とする位相空間です。通常の実数の位相より小さい（粗い・弱い）位相です。実数における右順序位相について，その性質をまとめましょう。

位相空間における局所連結とは，各点が連結な基本近傍系をもつことをいいます。連結であっても局所連結とは限らないし，局所連結であっても連結とは限りません。局所連結の定義・具体例・性質を述べましょう。最後には，点ごとの局所連結・弱局所連結についても解説します。

ほうき空間とは，ざっくり言うと平面上において，ある点から放射状に無限本の線分を伸ばした位相空間です。見た目からほうき空間と呼ばれることがあります。ほうき空間自体も面白いですが，後で紹介するほうき空間の無限個の繋ぎ合わせが面白いです。見ていきましょう。

くし空間は，R^2における，連結性のところで具体例に出される部分空間で，「くし」みたいな形をしています。定義と位相的性質を紹介しましょう。

弧状連結とは，空間内の任意の2点が道で結べる，すなわち，単位区間からの連続写像が構成できるような位相空間のことをいいます。また，弧連結とは，道として弧が取れる，連続写像よりさらに強い同相写像が取れるような位相空間のことをいいます。さらに局所弧状連結・局所弧連結についても述べましょう。

位相空間のある点における連結成分とは，その点を含む最大の連結部分集合のことをいいます。また，任意の点の連結成分が自分自身のみの1点集合であるとき，その位相空間は完全不連結であるといいます。連結成分と完全不連結性について，詳しく紹介しましょう。

位相空間における連結性とは，その空間が互いに素な（互いに共通部分をもたない）2つの開集合で分割できないことをいいます。これは，開かつ閉である部分集合が空集合と全体集合に限ることと同値です。連結性は「ひとつながり」を想起させる概念です。連結性についてその定義と基本的性質を紹介しましょう。

普遍ネット(超ネット)とは，ネットであってかつ，任意の部分集合に対し，その集合またはその補集合に eventually in となるようなものです。点列で考えても面白くない概念で，ネット特有の概念と言えます。普遍ネットを用いれば，コンパクト性も簡単に記述できます。紹介しましょう。