代数学(大学)

群・環・体

準同型写像・同型写像の定義と基本的な性質【群・環・体】

代数学における「準同型写像・同型写像」とは,代数の演算の構造を保つ写像のことを指します。とくに,同じ代数構造を持つ2つの集合に同型写像が定まれば,その2つは「同じもの」として扱うことが可能です。準同型写像・同型写像の定義・性質について,群・環・体それぞれについて分けて解説していきましょう。
群・環・体

剰余群(商群)とは~定義・具体例・性質の証明~

剰余群(商群)とは,群の剰余類の商集合に演算を入れて再び「群」と思ったものを指します。意味不明かもしれませんが,順を追って解説していきます。剰余群(商群)の定義にあたっては,well-defined の概念が非常に大事になってきますから,そこも踏まえてしっかりと理解していきましょう。
群・環・体

ラグランジュの定理とその証明・応用例【群論】

ラグランジュの定理(Lagrange's theorem)とは,有限群とその部分群の位数における基本的な定理で,有限群の分類などに非常に役に立つ定理です。ラグランジュの定理について紹介・証明し,応用例も挙げましょう。
群・環・体

剰余類と部分群の指数~定義と具体例~

群論における剰余類(左剰余類・右剰余類)と剰余集合(左剰余集合・右剰余集合)と部分群の指数の概念を,手順を追って解説していきます。少々長いですが,群論における基本的で重要な概念ですから,ゆっくりと理解していきましょう。
数論

メビウス関数とメビウスの反転公式の証明

メビウス関数(Möbius function)とは,数論的関数の1つで,重要な役割を果たします。メビウス関数の定義と,メビウスの反転公式(Möbius inversion formula)の証明を行いましょう。
群・環・体

正規部分群の定義と基本的な判定方法・具体例

正規部分群 (normal subgroup) とは,gNg^{-1} ⊂ N が成立する部分群 H ⊂ G のことを言います。正規部分群の定義と準同型写像の核を用いた判定方法,具体例と大事な性質まで紹介します。
数論

約数関数とは~定義と基本的な性質とその証明~

約数関数 (divisor function) とは,ある数に対し,その数の正の約数の累乗の和を計算する関数です。約数関数について,その定義と基本的な性質とその証明を行いましょう。
数論

完全数の定義と性質とその証明

完全数 (perfect number) とは,自分以外の正の約数の総和が自分自身に一致する数のことです。たとえば,28=1+2+4+7+14は完全数です。完全数について,その定義とメルセンヌ素数を絡めた性質を紹介しましょう。
数論

メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは~定義と性質~

メルセンヌ数 (Mersenne number) とは,2^n-1と表せる数で,これが素数のときはメルセンヌ素数 (Mersenne prime) といいます。これについて,定義と性質を解説しましょう。
線形代数学

正定値行列・半正定値行列の定義・性質3つとその証明

正定値行列 (positive definite matrix) とは内積について <Ax, x>>0が成り立つ行列で,半正定値行列とは,<Ax, x>≧0 が成り立つ行列です。正定値行列・半正定値行列について,その定義と性質を紹介しましょう。
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