代数学(大学)

線形代数学

ハメル基底とは~有理数上実数の基底~

ハメル基底 (Hamel basis)とは,実数を有理数上のベクトル空間とみなしたときの基底のことを言います。ハメル基底についてその定義と濃度,関連する話題を紹介しましょう。
線形代数学

ベクトル空間には必ず基底が存在する証明~選択公理から~

任意のベクトル空間には,必ず基底が存在することを証明します。証明には,選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
線形代数学

Spanの意味とは【線形結合】

Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包;linear span)を指します。これは,Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
群・環・体

体の定義と具体例4つ

数学,とくに代数学における体 (field) とは,四則演算が定義された集合のことを言います。一般に,代数学においては,群はかけ算・わり算が定義された集合,環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合,体は足し算・引き算・かけ算・わり算(四則演算)が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に,体の定義と具体例を述べましょう。
数論

【n!がpで割れる回数】ルジャンドルの定理とその証明

ルジャンドルの定理,あるいはルジャンドルの公式(Legendre's formula)とは,n!が素数がpで何回割れるかを表したものです。これについて,定理の主張と証明を行いましょう。
線形代数学

二次形式とその行列表示

二次形式 (quadratic form) とは,2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について,その定義と,行列を用いた表し方を解説しましょう。
線形代数学

行列の特異値とは~定義と性質~

行列の特異値とは,一般のm×n行列に対して定義される固有値みたいなものです。厳密には,AA^*のように正方行列にしてから,固有値を考えます。行列の特異値について,定義と性質を述べましょう。
群・環・体

素元と既約元について~倍元・約元・同伴~

可換環,特に整域における素元 (prime element) と既約元 (irreducible element) の概念について,その定義・具体例・性質を解説しましょう。関連する概念として,倍元・約元・同伴の定義も紹介します。
群・環・体

素イデアルと極大イデアルの定義・具体例・性質

可換環論における,素イデアルとは整数における素数の概念を拡張したものであり,極大イデアルとは,真のイデアルのうち,包含関係に関して極大なものを指します。素イデアル・極大イデアルについて,その定義・具体例・性質を解説しましょう。
群・環・体

剰余環(商環)とは~定義と具体例~

剰余環 (factor ring),あるいは商環(quotient ring)とは,両側イデアルによる同値類で割った商集合に入る環構造を指します。剰余環を調べることは,環論において最も基本的なことの一つです。剰余環について,定義がwell-definedであることと,具体例を挙げましょう。
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