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体の定義と具体例4つ

群・環・体
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数学,とくに代数学における体 (field) とは,四則演算が定義された集合のことを言います。一般に,代数学においては,

  • はかけ算・わり算が定義された集合
  • は足し算・引き算・かけ算が定義された集合
  • 体は足し算・引き算・かけ算・わり算(四則演算)が定義された集合

をいいます。本記事では環の定義を前提に,体の定義と具体例を述べましょう。

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体の定義

体というのは,ざっくりいうと四則演算が定義された集合のことを言います。厳密に定義を述べると,以下のようになります。

定義(体)

空でない集合 K (field)であるとは,

  1. K が単位元を持つ可換環
  2. K0 でない任意の元が乗法逆元を持つ,すなわち, a\ne 0 に対し, aa^{-1}=1 となるものが存在する。言い換えると K^\times = K\setminus\{0\} である

の2つが成り立つことをいう。ただし, K^\times とは K乗法群を指す。

1.の可換環とは,足し算・引き算・かけ算が定義されている集合です。「可換」とはかけ算について ab=ba と入れ替え可能なことを意味しています。それに加え,2.で割り算もできると言っているわけです。

念のため,1.で出てくる環の定義を述べておきましょう。

環・可換環の定義
  • (R,+)可換群(アーベル群)である。すなわち,
    a. {(a+b)+c=a+(b+c)} (結合法則)
    b. {a+0=0+a=0} (加法単位元 0 の存在)
    c. {a+(-a)=(-a)+a=0} (加法逆元 -a の存在)
    d. {a+b=b+a} (可換性)
  • (R,\times)モノイドである。すなわち,
    a. {(ab)c=a(bc)} (結合法則)
    b. {1a=a1=a} (乗法単位元 1 の存在)
  • +,\times の間の分配法則,すなわち,
    a. { a(b+c)=ab+ac}
    b. { (a+b)c=ac+bc}

が成り立つとき, (ring) という。

さらに乗法について ab=ba (可換性)が成り立つとき,可換環 (commutative ring) という。

詳しくは環の定義・可換環の定義とその具体例6つで解説しています。

なお,体に可換性を課さないこともあります。1.で,可換環でなく単なる環に変えたものを特に斜体 (skew field) といい,可換なときはそれを強調して可換体 (commutative field) ということもあります。逆に非可換なときは非可換体 (non-commutative field) ということもあります。

本記事では,単に「体」というと上の定義で述べた通り可換体を指すことにします。

また,位数(すなわち集合としての元の個数)が有限な体を有限体 (finite field) といいます。

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体の具体例4つ

例1(数の集合).

\mathbb{Q,R,C} は体である。 \mathbb{Z} は可換環であるが体ではない。

有理数 \mathbb{Q},実数 \R,複素数 \mathbb{C} はそれぞれ四則演算ができますから,体です。一方で,一般に整数 \mathbb{Z} は乗法逆元が \mathbb{Z} 内に存在しませんから,体ではないです。ただかけ算は出来るので,環ではあります。

例2(有限体)

p を素数とするとき,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} は体である。

{}\bmod{p} の世界ですね。 p が素数のときは,任意の a に対して, aa^{-1}\equiv 1\pmod p となる a^{-1} が存在しますから,体です。

なお p が素数でないと,これは成り立ちません。たとえば, {}\bmod{4} の世界 \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} を考えると, 2m\equiv 1\pmod 4 となる m は存在しないです( m\equiv 0,1,2,3 を順に代入すれば確認できます)。よって,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} は可換環だが体ではないです。

例3(有理関数体)

f(x), g(x) を多項式とし, g(x)\ne 0 とする。このとき, f(x)/g(x) の形の式を有理関数 (rational function; 有理式) という。有理関数全体の集合は体になる。記号でかけば,

\mathbb{R}(x)=\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\middle| f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x]\right\}


を有理関数全体の集合といい,これは体になる。

たとえば, Q(x)=\dfrac{3x^2+5x-7}{x^2-1} みたいな関数は有理関数です。

\mathbb{R}[x] は実数係数多項式全体の集合を指し, \mathbb{R}(x) は実数係数有理関数全体の集合を指すのが一般的です。

例4(四元数).

複素二次行列

\mathbb{H}= \left\{ \begin{pmatrix}a+bi & c+di\\ -c+di& a-bi \end{pmatrix} \mid a,b,c,d\in\R \right\}


は,非可換体になる。

この行列は,四元数と同型です。

体の性質

体の性質のうち,特に基本的なものを述べておきましょう。

定理(体の性質)

  1. 体は整域である。逆に有限整域は体である。
  2. 体は自明なイデアルしか持たない
  3. 体の間の準同型単射である
  4. 有限体の位数(集合としての元の個数)は p を素数,n を正の整数として p^n とかける。
  5. 位数が同じ有限体は互いに同型である

1,2,3.はそれぞれ整域とは~定義・具体例4つ・基本的性質4つ~イデアル(環論)とは~定義・具体例・基本的性質の証明~準同型写像・同型写像の定義と基本的な性質【群・環・体】の記事で解説しています。

5.について簡単に示します。 K_1,K_2 をどちらも元の個数(位数)が同じ体とし, f\colon K_1\to K_2準同型としましょう(準同型の存在は認めることにします)。このとき,3.より f単射ですね。位数が同じなので,全単射ですね。よって, f は同型です。

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