準同型写像・同型写像の定義と基本的な性質【群・環・体】

群・環・体

代数学における「準同型写像・同型写像」とは,代数の演算の構造を保つ写像のことを指します。とくに,同じ代数構造を持つ2つの集合に同型写像が定まれば,その2つは「同じもの」として扱うことが可能です。

準同型写像・同型写像の定義・性質について,群・環・体それぞれについて分けて解説していきましょう。

群の準同型写像・同型写像

まずは,群の間の準同型写像・同型写像を定義していきましょう。

群準同型写像・群同型写像の定義

定義1(群の準同型・同型)

G,Hとする。写像 f\colon G\to H

\color{red}\large f(ab) = f(a)f(b)\quad (a,b\in G)


をみたすとき, f を群の準同型 (homomorphism) という。

さらに f全単射なら群の同型 (isomorphism) といい,\color{red} G\simeq H \color{red}G\cong H とかく。

群準同型写像の定義

群の準同型とは「積を取ってから写したものと,写してから積を取ったものが等しいものだ」と言っているんですね。ある意味,群の準同型とは,群の構造を保つ写像といえるわけです。

同型とは,群として同じ構造であるという意味です。同型ならば,群として全く同じものであると思って差し支えありません。

f が全単射なら,逆写像 f^{-1} も同型になっていることが分かります(→定理1.5)。だからこそ「全単射」だけで「同型」と言ってしまっていい訳です。

なお,同型写像は \color{red} f\colon G\stackrel{\simeq}{\longrightarrow}H のような書き方をすることもあります。また,\color{red} G\simeq H ( GH同型 (isomorphic)) とは, G,H 間に同型写像が存在することを指します。

群準同型写像の性質

群準同型写像の性質を確認しましょう。

定理1(群準同型の性質)

G,Hとし, f\colon G\to H を群の準同型とする。このとき,

  1. f(e_G) = e_H.
  2. g\in G に対し, f(g^{-1}) = f(g)^{-1}.
  3. \operatorname{Ker} f =\{ g\in G\mid f(g)=e_H\}, \; \operatorname{Im} f = \{ f(g)\in H\mid g\in G\} はそれぞれ G,H部分群である。特に, \operatorname{Ker} f \subset G正規部分群である。
  4. f単射 \iff \operatorname{Ker} f = \{ e_G\}.
  5. f が同型なら,逆写像 f^{-1} も同型である。
  6. I が群, g\colon H\to I も準同型ならば,その合成 g\circ f\colon G\to I も準同型である。

1-2.は,「単位元」や「逆元の演算」も保たれると言っているわけですね。4.は単射であることの判定に非常に有効です。証明しておきましょう。

証明

1. f(e_G) = e_H について

f(e_G) = f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G) より,両端辺 f(e_G)^{-1} をかけて e_H = f(e_G) である。

2. f(g^{-1}) = f(g)^{-1} について

f(g)f(g^{-1}) = f(gg^{-1})=f(e_G) = e_H より両端辺左から f(g)^{-1} をかけて f(g^{-1}) = f(g)^{-1} である。

3. \operatorname{Ker}f ,\operatorname{Im} f が部分群であることについて

G_0\subset G が部分群である必要十分条件は \color{red}a,b\in G_0\implies ab^{-1}\in G_0 が成り立つことであった(→部分群の定義と判定方法~例4つと性質~)。

a,b\in\operatorname{Ker} f とすると, f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = e_He_H^{-1} = e_H である。よって ab^{-1}\in \operatorname{Ker} f となるため, \operatorname{Ker} f は部分群である。

また,任意の a\in \operatorname{Ker} f ,\,g\in G に対し, f(gag^{-1})=f(g)f(a)f(g)^{-1} = f(g)f(g)^{-1} = e_H なので gag^{-1}\in \operatorname{Ker} f である。よって \operatorname{Ker} f正規部分群である。

s,t\in \operatorname{Im} f とすると, f(a)=s, f(b)=t となる a,b\in G が存在する。 st^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1}) なので, st^{-1}\in \operatorname{Im}f となり部分群である。

4. f が単射 \iff \operatorname{Ker} f = \{ e_G\} について

\implies は単射の定義より明らか。 \impliedby について, a,b\in G に対し, f(a)=f(b) を仮定すると, f(a)f(b)^{-1} = e_H である。すなわち f(ab^{-1})=e_H であり, ab^{-1}\in\operatorname{Ker} f = \{e_G\}. よって ab^{-1}=e_G となり, a=b. したがって f は単射である。

5. f が同型なら f^{-1} も同型について

s,t\in H に対し, a=f^{-1}(s), b=f^{-1}(t) とすると, f は同型より f(ab)=f(a)f(b) = st すなわち f^{-1}(st)=ab である。

f^{-1}(s)f^{-1}(t) = ab = f^{-1}(st) なので, f^{-1} は準同型であり,全単射なので同型である。

6. 準同型写像の合成も準同型写像であることについて

a,b\in G に対し, g(f(ab))=g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) より, g\circ f も準同型である。

証明終

なお,\operatorname{Im} f \subset H正規部分群であるとは言えません。実際, G\subset H を正規部分群でない部分群とし, f\colon G\to H包含写像とすると, f は準同型ですが, \operatorname{Im} f =G\subset H となり,これは正規部分群ではありません。

群の準同型の例

いくつか簡単な具体例を確認しておきましょう。

群の準同型の例1.

n正則行列(可逆行列)全体のなす群(一般線形群) \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) に対し,行列式(det)を返す写像

\color{red}\det \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times


は準同型写像である。ただし,\mathbb{R}^\times =\mathbb{R}\setminus\{0\} とした。とくに \det全射であり,

\color{red} \!\!\operatorname{Ker} f = \mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) = \{ A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \mid \det A=1\}


である(特殊線形群という)。

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\mathbb{R}^\times は積に関して群になりますね。

\det (AB)=\det A\det B ですから(→行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)),群準同型です。

群の準同型の例2.

n対称群 S_n の各元 \sigma \in S_n に対し,その置換の符号 \operatorname{sgn} \sigma を返す写像

\color{red}\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{\pm 1\}


は全射準同型写像である。ここで,

\color{red} \operatorname{Ker}(\operatorname{sgn})= A_n


である( A_n n交代群)。

とくに, n=2 のときは S_2=\{e, (12)\}, A_2=\{e\} であるから, \operatorname{sgn}全単射となり,同型である。したがって, \color{red}S_2 \simeq \{\pm 1\} である。

S_2\{\pm 1\} は群として全く同じものと考えてよいということです。

環の準同型写像・同型写像

つづいて,環の間の準同型写像・同型写像を考えます。

以下で,環は零環でない,すなわち 0\ne 1 とします。また,環は単位的,すなわち乗法単位元 1 が存在するとします。

環準同型写像・同型写像の定義

定義2(環の準同型・同型)

R,S を環とする。 f\colon R\to S

  1. \color{red} f(a+b) = f(a)+f(b) \quad (a,b\in R)
  2. \color{red} f(ab)=f(a)f(b) \quad (a,b\in R)
  3. \color{red} f(1_R) = 1_S

をみたすとき, f を環の準同型 (homomorphism) という。

さらに f全単射なら環の同型 (isomorphism) といい,\color{red}R\simeq S\color{red} R\cong S とかく。

環準同型写像の定義

環には和・積の2つの演算が入っていますから,その両方の演算を保つものを「準同型写像」というわけです。条件3.は零写像にならないことを保証します。特に, \operatorname{Ker} f \subsetneq R です( \operatorname{Ker}f の定義は定理2の中)。

環準同型写像の性質

定理2(環準同型の性質)

R,S を環とし, f\colon R\to S を環の準同型とする。このとき,

  1. f(0_R) = 0_S.
  2. a\in R に対し, f(-a) = -f(a) であり, a が単元であれば(逆元が存在すれば) f(a^{-1})=f(a)^{-1} も成り立つ。
  3. \operatorname{Ker} f =\{ a\in R\mid f(a)=0_R\}, \; \operatorname{Im} f = \{ f(a)\in S\mid a\in R\} はそれぞれ R,S の部分環である。特に, \operatorname{Ker} f \subset R は(両側)イデアルである。
  4. f単射 \iff \operatorname{Ker} f = \{ 0_G\}.
  5. f が同型のとき,逆写像 f^{-1} も同型である。
  6. R が体のとき, f単射である。
  7. T も環, g\colon S\to T も準同型であるとすると, g\circ f\colon R\to T も準同型である。

証明

1-5,7.については,群のときと同様なので省略する。

6. R が体のとき f が単射であること

3.より, \operatorname{Ker} f\subsetneq R はイデアルであるが,体は自明なイデアルしか持たないので, \operatorname{Ker} f=\{0_R\} である。4.より, f は単射である。

証明終

環の準同型の例

環の準同型の例1.

\mathbb{Z},3\mathbb{Z} は環である。 f(n)=3n とする写像

\color{red} f\colon \mathbb{Z}\to 3\mathbb{Z}


は環の同型写像である。したがって, \color{red} \mathbb{Z}\simeq 3\mathbb{Z} である。

環の準同型になっていることは簡単に確認できますし,全単射は明らかですから, f は同型写像です。

環の準同型の例2.

R を環とし,

\color{red} f\colon \mathbb{Z}\ni n \mapsto \underbrace{1_R+\dots +1_R}_{n} \in R


とすると,これは環の準同型である。

環の準同型になっていることは確認してみてください。一般に,任意の零環でない環について,このような準同型が定まります。

環の準同型の例3.

実数係数1変数多項式全体の集合 \mathbb{R}[x] は環である。このとき,

\color{red}\phi \colon \mathbb{R}[x]\ni f(x) \mapsto f(\sqrt{-1}) \in \mathbb{C}


は環の準同型である。

和・積の計算をしてから x=\sqrt{-1} を代入するのと, x=\sqrt{-1} を代入してから和・積の計算をするのは同じになりますね。

体の準同型写像・同型写像

最後に,体の間の準同型写像・同型写像を定義します。

体準同型写像・同型写像の定義

体は環でもありますから,環と見ることで体の準同型が定義されます。

定義3(体の準同型・同型)

K,L を体とする。 f\colon K\to L が環としての準同型であるとき, f を体の準同型 (homomorphism) という。

さらに f全単射なら体の同型 (isomorphism) といい,\color{red}K\simeq L \color{red} K\cong L とかく。

今までの準同型の定義と比べて簡素に思うかもしれませんが,そもそも環から体では演算規則が増えたわけではないため,ある意味簡素なのは当然でしょう。

定理2.6で示したように,体の準同型は常に単射です。

体準同型写像の性質

定理3(体準同型の性質)

K,L を体とし, f\colon K\to L を体の準同型とする。このとき,

  1. f は常に単射である(→定理2.6)。
  2. f が同型ならば f^{-1} も同型である。
  3. M も体, g\colon L\to M も準同型とすると, g\circ f\colon K\to M も準同型である。

証明は同様なので省略します。

体の準同型の例

体の準同型の例1.

\mathbb{C} は体である。

\color{red} f\colon \mathbb{C} \ni z\mapsto \overline{z}\in \mathbb{C}


とすると,これは体の同型写像である。

\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}, \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2} ですから,環の準同型であり, \mathbb{C} は体なので体の準同型ですね。全単射は明らかなので体の同型です。

準同型定理

上で挙げなかった性質で,特に大事なものが「準同型定理」と呼ばれるものです。基礎的な群論・環論の一つのゴールといえる大定理です。最も基本的な主張のみ記述しましょう。

定理(準同型定理)

A,B を群(または環)とし, f\colon A\to B を群の(または環の)準同型とする。このとき,

\large \color{red} A/\operatorname{Ker} f \simeq \operatorname{Im} f


が成り立つ。

左辺は剰余群(商群)(または剰余環(商環))です。体については, \operatorname {Ker} f=\{0\} になってしまいますから,あまり意味のない主張になってしまいます。

準同型定理について詳しくは,いずれ別の記事で解説しましょう。

参考

  1. 堀田良之「代数入門-群と加群-」(裳華房 数学シリーズ,第19版,2008)
  2. 雪江明彦「整数論1 初等整数論からp進数へ」(日本評論社,2013)
  3. 雪江明彦「代数学1 群論入門」(日本評論社,2010)
  4. 雪江明彦「代数学2 環と体とガロア理論」(日本評論社,2010)
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