対称群・交代群はそれぞれ置換・偶置換を集めた集合を表します。「置換・偶置換」とは，行列式の定義にも用いたやつです(→行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など))。
これについて，詳しい定義や性質を解説しましょう。
【置換群】対称群・交代群とは
本記事では，置換のある程度の知識を仮定します。随所で復習を入れますが，もし全く知らないのであれば，以下の記事を読んでからの方が良いでしょう。
さて，対称群・交代群・置換群の定義を紹介しましょう。
対称群・置換群の定義
対称群・置換群の定義のために，まずは「置換」の復習をしましょう。
全単射 \sigma\colon \{1,2,3,\dots, n\} \to \{1,2,3,\dots, n\} を n 次の置換 (permutation) という。置換 \sigma, \eta \in S_n の合成 \eta \circ \sigma を置換の積という。
置換とは 1,2,3,\dots, n の入れ替えをしているイメージです(→線形代数(行列)における置換・奇置換・偶置換の最低限必要な知識)。
置換の定義をもとに，対称群・置換群の定義をしましょう。
定義（対称群・置換群）
n 次の置換全体の集合は，写像の合成に関して群となる。これを対称群 (symmetric group)といい， \color{red} S_n や \color{red}\mathfrak{S}_n などとかく。
対称群や，その部分群を置換群 (permutation group) という。
\mathfrak{S}_n の \mathfrak{S} はドイツ文字の「エス」です。本サイトでは，対称群は S_n という表記を用いることにします。
交代群の定義
交代群の定義には，もう少し知識が必要です。復習しましょう。
置換のうち，2つの元のみを入れ替えたもの \sigma(i)=j, \; \sigma(j)=i, \; \sigma(l)= l\,(l\ne i,j) を互換 (permutation) という。全ての置換 \sigma \in S_n は互換の積(合成)でかけることが知られている。
奇数個の互換の積でかける置換 \sigma を奇置換 (odd permutation) といい，偶数個の互換の積でかける置換 \sigma を偶置換 (even permutation) という。
この辺の話は，やはり線形代数(行列)における置換・奇置換・偶置換の最低限必要な知識で解説しています。この知識をもとに，交代群を定義します。
定義（交代群）
n 次の偶置換全体の集合は，対称群 S_n の部分群になる。これを交代群 (alternating group) といい， \color{red} A_n や \color{red} \mathfrak{A}_n とかく。
偶置換全体の集合は，対称群の部分群になります。実際，偶置換は偶数個の互換の積でかけますから，偶置換の積や逆置換も偶数個の互換の積，すなわち偶置換になりますね。よって部分群になります(→部分群の定義と判定方法～例4つと性質～)。
注意ですが，奇置換全体の集合は対称群の部分群にはなりません。奇置換の積は，(奇数＋奇数)個の互換の積になり，これは偶置換になってしまいます。よって，積に対して閉じていないため，奇置換全体の集合は部分群ではありません。
置換の符号 \operatorname{sgn}(\sigma) を \sigma が偶置換のとき 1，奇置換なら -1 としましょう(→sign関数(sgn関数,符号関数)とは何か)。このとき，写像 \operatorname{sgn}\colon S_n \to \{\pm 1\} は準同型写像になります。ここで，
A_n= \operatorname{Ker}(\operatorname{sgn}) = \operatorname{sgn}^{-1} (1)
です。よって， A_n は置換の符号が 1 となる置換の集まりですね。特に， A_n は正規部分群になります(→正規部分群の定義と基本的な判定方法・具体例)。
【置換群】対称群・交代群の性質
対称群・交代群の大切な性質を2つ述べましょう。
対称群は有限群の母といわれることもあるかもしれませんが，それは，任意の有限群は対称群の部分群と考えることができるからです。
証明を記しておきましょう。
証明
G = \{g_1, g_2, \dots, g_n\} とする。 g_k\; (1\le k\le n) に対し， g_k g_j = g_{\rho_k (j)} とすると，これは置換 \rho_k \colon \{1,2,\dots, n\}\to \{1,2,\dots, n\} を定める。
ここで， f\colon G\ni g_k \mapsto \rho_k \in S_n は単射準同型であることを示そう。
- 単位元 e\in G に対し， eg_j = g_j より，f(e)= \operatorname{id} である
- g_k g_l \in G に対し， g_lg_k g_j = g_l g_{\rho_k(j)}=g_{\rho_l\rho_k(j)} より， f(g_lg_k) = \rho_l\rho_k = f(g_l)f(g_k)
- また上で， g_k = g_l^{-1},\, g_l = g_k^{-1} とすると， f(g^{-1} )= f(g)^{-1} もわかる
ので， f は準同型である。また， f(g) = \operatorname{id}\in S_n とすると，明らかに g=e なので単射でもある。よって， f は単射準同型である。
したがって準同型定理より， f\colon G \to f(G)\subset S_n は同型であり， G は S_n の部分群と同型ということになる。
証明終
次は，証明しませんが，大事な性質です。
定理（対称群・交代群の性質2）
n\ge 5 のとき S_n は可解群でない。
これは5次以上の代数方程式の解はべき根でかけないという「アーベル－ルフィニの定理」の根本になっています。可解群についても解説していませんが，大事な性質であるということを知っておくとよいでしょう。
