大学専門

関数解析学

直交補空間の定義と性質9つ

関数解析学における「内積空間」において,直交補空間(orthogonal complement) とは,ある部分ベクトル空間とちょうど直交の関係になるベクトル全体の集合のことを指し,これもまたベクトル空間になります。直交補空間について,その定義と性質とその証明を紹介しましょう。
関数解析学

正規直交系・正規直交基底

正規直交系とは,大きさが1であり,互いに直交するベクトルの集まりを指します。また,正規直交基底(完全正規直交系)とは,正規直交系で,かつ全てのベクトルがそれらを用いて表現可能なことをいいます。正規直交系・正規直交基底について,定義と具体例を見ていきましょう。
関数解析学

ヒルベルト空間とは~定義・具体例・基本的性質~

ヒルベルト空間とは,内積が定義されていて,かつ完備(敷き詰まっている)空間のことを言います。ヒルベルト空間の定義を確認し,関数解析で良く用いられる具体例と基本的性質を述べましょう。
関数解析学

バナッハ空間とは~定義と具体例5つ~

バナッハ空間 (Banach space) とは,距離空間として完備なノルム空間のことを言います。バナッハ空間について,定義を詳しく紹介し,それから具体例5つと基本的性質を述べましょう。
関数解析学

コーシーシュワルツの不等式のさまざまな形と証明

コーシーシュワルツの不等式 (Cauchy-Schwartz inequality) は,高校数学から専門数学まで幅広い範囲で使われています。まずは専門数学の最も一般的な形で定理の主張を述べ,それから具体的な形を紹介してから,最後に証明を記述しましょう。等号成立条件についても扱います。
関数解析学

ノルムの同値性と有限次元空間のノルムは全て同値である証明

あるベクトル空間には,複数のノルムの定め方があります。しかし,それらのノルムは結局同じ「収束」を扱うことになる場合があります。このとき,ノルムは同値であるといいます。ノルムの同値性の具体的な定義と,有限次元ベクトル空間のノルムは全て同値であること,また,逆に無限次元ベクトル空間ではノルムが同値にならないことがあることを紹介します。
関数解析学

【内積空間】 内積の定義・具体例と中線定理

内積が定まったベクトル空間のことを,内積空間といいます。内積とは,2つのベクトル同士を「測る」ツールであり,内積が定まるベクトル空間は,「直交」といった概念を導入することが可能です。内積について,その定義と,具体例,さらにノルムとの関係を述べ,ノルムとの関係を扱う上で必要な中線定理についても記述しましょう。
関数解析学

ノルムとは~ノルム空間の定義と具体例~

ノルム(norm)とは,ベクトルの大きさを定める量のようなものです。ノルムを定義することで,ベクトル同士の「距離」を考えることができるようになり,収束の議論ができるようになります。ノルム・ノルム空間の定義を述べ,その簡単な具体例を紹介しましょう。
解析学(大学)その他

【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく

コーシーの関数方程式 (Cauchy's functional equation) とは,f(x+y)=f(x)+f(y)となる関数方程式のことを言います。これの解fを求め,さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。
測度論

測度論におけるシュタインハウスの定理とその証明

R^Nにおける可測集合は,それ自身はなかなか実態がよくわからないものかもしれません。しかし,零集合でない可測集合を2つ用意して,A+Bを考えると,これは開集合を含むようになります。シュタインハウスの定理(Steinhaus's theorem)といわれる本定理を紹介し,証明しましょう。
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