関数解析学

ヒルベルト空間における正射影・正射影作用素

ヒルベルト空間における正射影(projection)あるいは直交射影について,その定義を紹介し,関連して正規直交系が与えられた部分空間上への射影について考えましょう。
関数解析学

ベッセルの不等式とその詳しい証明

内積空間におけるベッセルの不等式 (Bessel's inequality) は,正射影したベクトルのノルムの方が,元のノルムより小さいよということを式にした定理です。ベッセルの不等式を証明しましょう。
関数解析学

線形作用素とその有界性について詳しく

線形代数学において,ベクトル空間の間の大事な写像は線形写像ですが,無限次元の線形代数ともいわれる関数解析学では,定義域が空間全体とは限らない「線形作用素」が大事になります。今回は,そんな線形作用素について定義し,さらに性質の良い「有界線形作用素」について定義と具体例を紹介していきましょう。
関数解析学

ヒルベルト空間における射影定理とその証明

ヒルベルト空間において非常に基本的な定理である射影定理 (projection theorem) について,その定理の主張と証明を行いましょう。
関数解析学

直交補空間の定義と性質9つ

関数解析学における「内積空間」において,直交補空間(orthogonal complement) とは,ある部分ベクトル空間とちょうど直交の関係になるベクトル全体の集合のことを指し,これもまたベクトル空間になります。直交補空間について,その定義と性質とその証明を紹介しましょう。
関数解析学

正規直交系・正規直交基底

正規直交系とは,大きさが1であり,互いに直交するベクトルの集まりを指します。また,正規直交基底(完全正規直交系)とは,正規直交系で,かつ全てのベクトルがそれらを用いて表現可能なことをいいます。正規直交系・正規直交基底について,定義と具体例を見ていきましょう。
関数解析学

ヒルベルト空間とは~定義・具体例・基本的性質~

ヒルベルト空間とは,内積が定義されていて,かつ完備(敷き詰まっている)空間のことを言います。ヒルベルト空間の定義を確認し,関数解析で良く用いられる具体例と基本的性質を述べましょう。
関数解析学

バナッハ空間とは~定義と具体例5つ~

バナッハ空間 (Banach space) とは,距離空間として完備なノルム空間のことを言います。バナッハ空間について,定義を詳しく紹介し,それから具体例5つと基本的性質を述べましょう。
関数解析学

コーシーシュワルツの不等式のさまざまな形と証明

コーシーシュワルツの不等式 (Cauchy-Schwartz inequality) は,高校数学から専門数学まで幅広い範囲で使われています。まずは専門数学の最も一般的な形で定理の主張を述べ,それから具体的な形を紹介してから,最後に証明を記述しましょう。等号成立条件についても扱います。
関数解析学

ノルムの同値性と有限次元空間のノルムは全て同値である証明

あるベクトル空間には,複数のノルムの定め方があります。しかし,それらのノルムは結局同じ「収束」を扱うことになる場合があります。このとき,ノルムは同値であるといいます。ノルムの同値性の具体的な定義と,有限次元ベクトル空間のノルムは全て同値であること,また,逆に無限次元ベクトル空間ではノルムが同値にならないことがあることを紹介します。
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