線形代数学

Spanの意味とは【線形結合】

Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包;linear span)を指します。これは,Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
微分方程式

バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明

バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは, 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち,その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて,主張と証明を行いましょう。
群・環・体

体の定義と具体例4つ

数学,とくに代数学における体 (field) とは,四則演算が定義された集合のことを言います。一般に,代数学においては,群はかけ算・わり算が定義された集合,環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合,体は足し算・引き算・かけ算・わり算(四則演算)が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に,体の定義と具体例を述べましょう。
数論

【n!がpで割れる回数】ルジャンドルの定理とその証明

ルジャンドルの定理,あるいはルジャンドルの公式(Legendre's formula)とは,n!が素数がpで何回割れるかを表したものです。これについて,定理の主張と証明を行いましょう。
測度論

本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か

測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは,零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について,ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
関数解析学

ミンコフスキーの不等式とその証明

ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは,L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について,その証明を行いましょう。
関数解析学

ヘルダーの不等式とその証明

ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)とは,関数解析学における基本的な不等式であり,コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。ヘルダーの不等式について,その主張と証明を分かりやすく紹介します。
解析学(大学)その他

ヤングの不等式の証明とその一般化

ヤングの不等式(Young's inequality)とは,任意のa,b>0 と 1/p+1/q=1をみたす p,q>1 に対し,ab ≦ a^p/p + b^q/q という不等式のことを言います。これについて,証明とその発展形を紹介しましょう。
線形代数学

二次形式とその行列表示

二次形式 (quadratic form) とは,2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について,その定義と,行列を用いた表し方を解説しましょう。
線形代数学

行列の特異値とは~定義と性質~

行列の特異値とは,一般のm×n行列に対して定義される固有値みたいなものです。厳密には,AA^*のように正方行列にしてから,固有値を考えます。行列の特異値について,定義と性質を述べましょう。
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