線形代数学ベクトル空間には必ず基底が存在する証明～選択公理から～
任意のベクトル空間には，必ず基底が存在することを証明します。証明には，選択公理と同値なツォルンの補題を用います。
線形代数学
線形代数学Spanの意味とは【線形結合】
Span Sとは集合Sの一次結合(線形結合)によってできるベクトル空間(線形包；linear span)を指します。これは，Sを含む最小のベクトル空間になります。Spanの定義と具体例を確認していきましょう。
微分方程式バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)とその証明
バナッハの不動点定理 (Banach's fixed-point theorem) あるいは縮小写像の原理 (contraction mapping principle) とは， 縮小写像 f: X→X が唯一つ不動点を持ち，その不動点は任意の点からfで何回もうつすことで近似可能という定理です。これについて，主張と証明を行いましょう。
群・環・体体の定義と具体例4つ
数学，とくに代数学における体 (field) とは，四則演算が定義された集合のことを言います。一般に，代数学においては，群はかけ算・わり算が定義された集合，環は足し算・引き算・かけ算が定義された集合，体は足し算・引き算・かけ算・わり算（四則演算）が定義された集合をいいます。本記事では環の定義を前提に，体の定義と具体例を述べましょう。
数論【n!がpで割れる回数】ルジャンドルの定理とその証明
ルジャンドルの定理，あるいはルジャンドルの公式(Legendre's formula)とは，n!が素数がpで何回割れるかを表したものです。これについて，定理の主張と証明を行いましょう。
測度論本質的上限・本質的下限(esssup,essinf)とは何か
測度論・関数解析における本質的上限・本質的下限(esssup, essinf)とは，零集合を無視した上限・下限のことを言います。本質的上限・本質的下限について，ちゃんとした定義と具体例・性質を挙げましょう。
関数解析学ミンコフスキーの不等式とその証明
ミンコフスキーの不等式 (Minkowski's inequality) とは，L^pノルムに関する三角不等式のことをいいます。ミンコフスキーの不等式について，その証明を行いましょう。
関数解析学ヘルダーの不等式とその証明
ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)とは，関数解析学における基本的な不等式であり，コーシーシュワルツの不等式の一般化にもなっています。ヘルダーの不等式について，その主張と証明を分かりやすく紹介します。
解析学(大学)その他ヤングの不等式の証明とその一般化
ヤングの不等式(Young's inequality)とは，任意のa,b>0 と 1/p+1/q=1をみたす p,q>1 に対し，ab ≦ a^p/p + b^q/q という不等式のことを言います。これについて，証明とその発展形を紹介しましょう。
線形代数学二次形式とその行列表示
二次形式 (quadratic form) とは，2次の項しかない1変数または多変数多項式のことをいいます。二次形式について，その定義と，行列を用いた表し方を解説しましょう。