複素関数論

複素関数論における最も重要で驚異的な定理の一つが一致の定理（identity theorem）です。この定理は，「正則関数の局所的な情報（一部の点での値）が，領域全体の大域的な情報を完全に決定してしまう」という定理で，正則関数の凄さを表しています。一致の定理について，その証明を簡潔に分かりやすく紹介します。

リューヴィルの定理 (リウヴィルの定理, リュウビルの定理，Liouville's theorem) とは，複素平面全体で正則な関数（整関数という）が有界ならば定数関数に限るという定理です。複素関数論の強力な定理の一つで，これを利用すれば，代数学の基本定理を簡単に示すこともできます。リューヴィルの定理について，その証明をしましょう。

正則関数は，定義域に含まれる任意の開円板上で常にテイラー展開（べき級数展開）可能です。これは実関数にない大変強力な性質で，正則関数なら，ある1点の値とそのn階微分の値から，開円板上の全ての値が決まるということです。このことを，コーシーの積分公式を用いて証明しましょう。

モレラの定理とは，任意の周回積分の値が0ならばその複素関数は正則であるという複素関数論における定理です。モレラの定理は，関数が正則であることを微分ではなく積分で示せるという点で強力です。モレラの定理の証明と，その応用例を紹介しましょう。

コーシーの積分公式は，ある1点の関数の値を，その周りの領域における線積分で求めるという画期的な公式であり，これにより，正則関数が無限回微分可能であることとその積分表示が証明できます。これらの2つの定理について証明を解説し，最後に具体例も見ましょう。

複素関数論におけるコーシーの積分定理は，正則関数の威力を示す入り口の定理です。微分の連続性を仮定すればグリーンの定理から簡単に証明可能ですが，ここではそれを仮定せず，三角形分割によるグルサの補題を経由して，単連結領域上のコーシーの積分定理を厳密に証明しましょう。

オイラーの公式 (Euler's formula) とは，e^{iΘ} = cos Θ+i sin Θ で，オイラーの等式 (Euler's identity) とは，それに Θ = π を代入した等式 e^{iπ} =-1 を指します。これらの公式・等式がどういった意味で成立するのか，その証明と関連公式の解説を行いましょう。