複素数版のガウス積分とその導出証明

複素関数論

ガウス積分の指数部分を複素数に拡張したものは, \operatorname{Re} \alpha > 0,\, \beta \in \mathbb{C} に対して,

\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}


となります。これについて,その導出を行いましょう。

複素数版のガウス積分

実数版のガウス積分は a>0,\,b\in\mathbb{R} に対して

\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-b)^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}


です。これは以下で解説しています。

これを複素数に拡張したものが,次の定理です。

定理(複素ガウス積分)

\operatorname{Re} \alpha > 0,\, \beta \in \mathbb{C} に対して,

\large\color{red}\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}


が成り立つ。

複素ガウス積分には身近な応用があります。正規分布の特性関数の計算には,複素ガウス積分を用いる必要があります。

複素数版のガウス積分の導出

早速導出していきましょう。

\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-b)^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},\quad a>0,\,b\in\mathbb{R}


について,

  1. まず b\in\mathbb{R} \beta\in\mathbb{C} に拡張し,
  2. それから a>0 \beta \in \{ \operatorname{Re} \beta>0\} に拡張

するかたちで証明します。

1. bを複素数βに拡張する証明

さて,まずは (x-b)^2 b\in\mathbb{R} (x-\beta)^2\;(\beta\in\mathbb{C}) に拡張しましょう。経路積分の議論を用います。

証明

積分のシフトにより, b\in\mathbb{R} に対して,

\int_{-\infty+ib}^{\infty+ib} e^{-az^2}\,dz = \sqrt{\frac{\pi}{a}}


を示せばよい。 R_1,R_2>0 とし,下のような経路 C で周回積分すると, \int_C e^{-az^2}\,dz =0 である。

経路積分の長方形経路の図

よって,

\small \!\!\left(\int_{-R_2+ib}^{R_1+ib} \!+\! \int_{R_1+ib}^{R_1}\!+\! \int_{R_1}^{-R_2}\! +\!\int_{-R_2}^{-R_2+ib} \right)e^{-az^2}\,dz =0.


ここで,

\begin{aligned} \left| \int_{R_1+ib}^{R_1} e^{-az^2}\,dz \right| &\le |b| e^{-a(R_1^2-b^2)} \xrightarrow{R_1\to\infty}0 \end{aligned}


であり,同様に

\begin{aligned} \left| \int_{-R_2}^{-R_2+ib} e^{-az^2}\,dz \right| &\le |b| e^{-a(R_2^2-b^2)} \xrightarrow{R_2\to\infty}0 \end{aligned}


であるから,等式で R_1,R_2\to\infty とすることで,

\int_{-\infty+ib}^{\infty+ib} e^{-az^2}\,dz =\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}


がわかる。

証明終

これで,無事に a>0, \, \beta\in\mathbb{C} に対して

\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation*}


が証明できたことになりますね。

2. aを複素数αにする証明

a>0, \, \beta\in\mathbb{C} のときに証明した

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation}


の両辺を, \operatorname{Re}\alpha>0 に解析接続する形で証明しましょう。

証明

積分のシフトにより,\beta = -ib\;(b\in\mathbb{R}) (純虚数または 0)と思ってもよい。

\alpha \mapsto \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha (x+ib)^2}\,dx が, \operatorname{Re}\alpha>0 上解析的(正則)であることを示そう。右辺を f(\alpha) とおくと, |h|<\min\{ \operatorname{Re} \alpha, |\operatorname{Im} \alpha|\}/2 をみたす h\in\mathbb{C} に対して,

\begin{equation}\begin{aligned} &\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h}\,dx. \end{aligned}\end{equation}


このとき,被積分関数について,

\begin{aligned}&\left| \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h} \right| \\ &=\left| \frac{\int_{\alpha}^{\alpha+h} (x+ib)^2 e^{-y(x+ib)^2}\,dy}{h} \right|. \end{aligned}


ここで, \alpha=s+it,\, y=p+iq\;(s,t, p,q\in\mathbb{R}) とおくと,指数部分について

\begin{aligned} \operatorname{Re} (y(x+ib)^2) &=px^2 -2bqx \\ &\ge \frac{s}{2} x^2 -3|bt||x|\end{aligned}


であるから,

\begin{aligned}&\left| \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h} \right| \\ &\le |x+ib|^2 \exp\left( -\frac{s}{2} x^2 +3|bt||x| \right)\end{aligned}


となって, s>0 なので,これは x\in (-\infty,\infty) 上可積分な関数である。ルベーグの優収束定理より,(2) 式は h\to 0 で収束する。よって, f(\alpha) \operatorname{Re}\alpha>0 上解析的(正則)である。

また, \alpha \mapsto \sqrt{\pi/\alpha} \operatorname{Re} \alpha>0 上明らかに解析的(正則)であるから, (1) 式は解析接続できて, \operatorname{Re} \alpha>0

\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}


が言えた。

証明終

フレネル積分

ガウス積分 \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx=\sqrt{\pi/\alpha} は,\operatorname{Re}\alpha>0 でした。しかし,このような \beta =0 のときは, \operatorname{Re}\alpha=0 に拡張することが可能です。これはフレネル積分と呼ばれ,以下で解説しています。

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