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複素関数の微分~定義と例~

複素関数論
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複素数の関数における微分は,実数のときと同じく,

f'(z)=\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}


の形で定義されます。これについて,具体例を交えて詳しく解説します。

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複素関数の微分の定義

以下, \mathbb{C} は複素数全体の集合としましょう。

定義(複素関数の微分)

f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} z\in\mathbb{C}微分可能 (differentiable) であるとは,

\color{red} f'(z)=\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}


が存在することをいう。

形は実数関数のときの微分と全く同じですね。

微分の定義において, h\to 0 h\in\mathbb{C} の範囲で極限を取っていることに注意してください。 z+h は,下図のように,うろうろしながら近づけても構いません。

複素数の極限のイメージ

複素数の微分は,実数とほぼ同様に計算できます。具体例を見ていきましょう。

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複素関数の微分の具体例

例1.

n\ge 1 を整数とする。\color{red} f(z)=z^n

\begin{aligned}f'(z)&=\lim_{h\to 0} \frac{(z+h)^n-z^n}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\sum_{k=1}^{n} {}_n \mathrm{C}_k z^{n-k} h^{k-1 }\\ &= nz^{n-1} \end{aligned}


なので, \color{red}f'(z)=nz^{n-1} である。

計算過程を見ると,極限の計算は,実数のときと全く同じと思ったのはないでしょうか。このように,複素微分でも,実数のときと同じように考えればよい場合が多いです。実際,次の例が成立します。

例2.

実数のときと類似の計算により,

  1. (e^z)' = e^z
  2. (\sin z)' = \cos z
  3. (\cos z)' = -\sin z
  4. \log z = 1/z ( \log z 自体は多価関数であることに注意)

実数のときとほぼ同じですね。続いて,微分不可能な場合も見ていきましょう。

例3.

\color{red} f(z)=\overline{z} (共役複素数) とする。これは,任意の点で微分不可能である。実際,

\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{\overline{h}}{h}


となって, h=a\in\mathbb{R} とすると 1 h=ia とすると -1 になってしまい,極限が一意に定まらないからである。

微分不可能な例です。このように, f の定義に \overline{z} が入っていると,基本的に微分できないと思ってよいです。

例4.

f(z)=|z|^2 とする。これは, z\ne 0 で微分不可能である。実際,

\frac{|z+h|^2 - |z|^2}{h} = \overline{z}+ \overline{h}+z\frac{\overline{h}}{h}


なので, z\ne 0 のときは h\to 0 の極限は一意に定まらないからである。

これも, f(z)=|z|^2 = z\overline{z} であり, f の定義に \overline{z} が入っていて,原点以外では微分できません。

実2変数関数との関係

複素数は z= x+iy \; (x,y\in\mathbb{R}) と解釈することで,

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)


のような実2変数関数 u,v と思うことができます。では,複素微分可能であるためには,実2変数関数としてどのような条件が必要でしょうか。これは,コーシーリーマンの関係式として知られています。以下の記事で解説しています。

正則関数

D\subset \mathbb{C} を開領域とし,この上で定義された複素関数 f\colon D\to \mathbb{C} について, D 全体で微分可能であるとき,f正則関数 (regular function) といいます。

正則関数は,以下のような強力な定理が成立します。

定理(正則関数は解析的)

f\colon D\to \mathbb{C} を正則とするとき,これは各点の周りで解析的である。特に,無限回微分可能( C^\infty 級)である。

「解析的」とは,近傍でテイラー展開可能であることを指します(→テイラー展開・マクローリン展開とは【解析的な関数と具体例】)。

1回微分可能を課しただけなのに,無限回微分可能で,しかもテイラー展開可能であることまで言えてしまうのはすごいですね。複素関数が微分可能であるというのは,非常に良い性質を指しているわけです。

このことについて,詳しくは,またいつかの機会に解説しましょう。