オイラーの公式・オイラーの等式とは~美しい等式の紹介~

複素関数論

オイラーの公式とは, e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta で,オイラーの等式とは,それに \theta = \pi を代入した等式 e^{i\pi} =-1 を指します。

これらの公式・等式がどういった意味で成立するのか,その証明と関連公式の解説を行いましょう。

オイラーの公式・オイラーの等式とは

オイラーの公式

オイラーの公式・オイラーの等式

定理(オイラーの公式; Euler’s formula)

\theta \in\mathbb{R} について,

\large\color{red} e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta


である。

ここで,等式に e^{i\theta} というのが出てきていますね。これの定義は,指数関数 e^xマクローリン展開を複素数に拡張して,

e^{i\theta} = 1+i\theta+ \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots


と定義されます。

ここで,オイラーの公式に \theta=\pi を代入すると, \cos\pi +i\sin\pi = -1 ですから,

\large\color{red} e^{i\pi} =-1


が成り立ちますね。これをオイラーの等式 (Euler’s identity) といいます。これは,神秘的な3つの数 i, e, \pi を組み合わせた等式で,美しい等式といわれることも多いです。

高校では,ド・モアブルの定理という名前で, (\cos\theta+i\sin\theta )^n= \cos n\theta+i\sin n\theta というのを習うでしょう。これは,オイラーの公式で解釈すると ( e^{i\theta})^n = e^{i n\theta} という,単に指数の計算を表しています。

オイラーの公式の拡張

オイラーの公式は,さらに以下のように拡張されます。

定理(オイラーの公式の拡張)

z\in\mathbb{C} に対して,

  1. e^{iz} = \cos z+i\sin z,
  2. \cos z = \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
  3. \sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.

\theta\in\mathbb{R} z\in\mathbb{C} に拡張されましたね。ここで,各関数の定義は,実数によるマクローリン展開を複素数に拡張したもので,以下の通りです。

関数の定義
\begin{aligned} e^z &= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1+z+\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^3}{3!}+\cdots \\ \sin z &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!} = z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!} - \cdots \\ \cos z&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} = 1-\frac{z^2}{2!} +\frac{z^4}{4!} - \cdots \end{aligned}


収束半径は全て \infty である。

このとき,実数の場合と同様に \cos (-z)= \cos z, \, \sin(-z)=-\sin z が成り立ちますから,定理の1.の式と e^{-iz} = \cos z-i\sin z を組み合わせることで,2,3.も従います。

オイラーの公式の証明

さて,オイラーの公式 e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta を証明しましょう。 証明自体は,そんなに難しくありません。

証明

\theta \in\mathbb{R} とする。

\begin{aligned}&e^{i\theta}\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^n}{n!} \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{2N} \frac{(i\theta)^n}{n!} \\ &= \lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= \cos\theta +i\sin\theta \end{aligned}

証明終

この証明は \theta \in\mathbb{R} z\in\mathbb{C} に変えても通用しますね。よって,拡張したオイラーの公式

e^{i z} = \cos z+i\sin z


も証明されますね。

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