べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n， \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n における収束半径とは何か定義し，さらにその求め方と具体例について解説します。
収束半径とは
定義（収束半径）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n が
- \color{red}|x| < r のとき絶対収束し，
- \color{red} |x| > r のとき発散するとき，
この r を収束半径 (radius of convergence) という。
ただし，すべての x \ne 0 で発散するとき，収束半径は r= 0 と定め，すべての x で収束するときは収束半径は r=\infty と規定する。
最初に注意ですが， |x|=r のときの収束・発散は述べていないことに注意しましょう。 |x|=r では，絶対収束・条件収束・発散のどれもあり得ます。具体例は後ほど述べましょう。
ここで x は実数でなく，複素数でも良いです。加えて 0 を中心としたべき級数ではなく， a\in\mathbb{C} を中心としてもよいです。これを踏まえて，上の定義を一般化しましょう。
定義（収束半径）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n が
- \color{red}|z-a| < r のとき絶対収束し，
- \color{red} |z-a| > r のとき発散するとき，
この r を収束半径 (radius of convergence) という。
ただし，すべての z \ne a で発散するとき，収束半径は r= 0 と定め，すべての z で収束するときは収束半径は r=\infty と規定する。
a=0, x\in \mathbb{R} とすると，最初の定義に一致しますね。
以降は，こちらの一般的な定義の方で進めていきます。
収束半径の求め方
さて，収束判定法の求め方として，
- ダランベールの公式による判定
- コーシーアダマールの公式による判定
の2つを紹介します。
ダランベールの公式による判定
定理（ダランベールの公式）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n に対して，
r =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\in [0,\infty]
が存在するとき， r は収束半径である。
これは，級数におけるダランベールの収束判定法と関連しています。実際， |z-a|<r としたとき，
\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}(z-a)^{n+1}}{a_n(z-a)^n}\right| \\ & =\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| |z-a| <\frac{1}{r}\cdot r = 1\end{aligned}
が成立するため，ダランベールの収束判定法により収束します。
ダランベールの収束判定法については，以下の記事を参照してください。
コーシーアダマールの公式による判定
定理（コーシーアダマールの公式）
べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n に対して，
r = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
とすると， r は収束半径である。ただし， 1/\infty = 0, \,1/0 =\infty と解釈する。
コーシーアダマールの公式は，ダランベールの公式より求めるのが難しいです。しかし \limsup は必ず存在するため，これを用いれば収束半径を必ず求めることができます。
本定理は，級数におけるコーシーの収束判定法と関連しています。実際， |z-a|<r としたとき
\begin{aligned} & \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n(z-a)^n|} \\ &= \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}|z-a| < \frac{1}{r} \cdot r = 1 \end{aligned}
が成立するため，コーシーの収束判定法により収束します。
コーシーの収束判定法については，以下の記事を参照してください。
なお本定理から，どんなべき級数でも必ず収束半径が存在することもわかります。すなわち，
- |z-a| < r をみたす任意の z に対して，べき級数は絶対収束する
- |z-a| > r をみたす任意の z に対して，べき級数は発散する
の両方を同時に満たす 0\le r \le \infty は必ず存在することがわかります。
収束半径の具体例
収束半径を求める具体例を挙げましょう。またそれと同時に， |x|=r のときにどうなるかも考えてみましょう。
例1.
\displaystyle\color{red} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} x^n の収束半径は r = 2 である。
これは，ダランベールの判定法を用いて，
\left|\frac{1/2^n}{1/2^{n+1}}\right| =2
であることから従います。
このことより， |x|< 2 では絶対収束し， |x|> 2 のとき発散することが分かりました。ところで， |x|=2 のときはどうなるのでしょうか？ 結論，今回の場合は |x| = 2 のときは発散します。
実際， |x|=2 とすると，各項について |\frac{1}{2^n} x^n| = 1 となって 0 に収束しないため，収束することはありません。
例2.
\displaystyle\color{red} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n の収束半径は r = 1 である。
これは，ダランベールの判定法を用いて，
\begin{aligned}\left|\frac{1/n}{1/(n+1)} \right| &= \left|\frac{n+1}{n} \right| \xrightarrow{n\to\infty} 1 \end{aligned}
であることから従います。
このことより， |x|< 1 では絶対収束し， |x|> 1 のとき発散することが分かりました。では， |x|=1 のときはどうなるのでしょうか？ 結論，今回の場合は x=1 のときは発散し， x=e^{i\theta} \,(\theta \notin \{2m\pi \mid m \in\mathbb{Z} \}) のとき(すなわち |x|=1 かつ x\ne 1 のとき)は条件収束します。
これについては，以下の記事で解説していますから，参照してください。
例3.
\color{red} \sin x=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
の収束半径は r = \infty である。
\sin のマクローリン展開ですね。テイラー展開・マクローリン展開においては，収束半径の議論は避けては通れないでしょう。
収束半径については，コーシーアダマールの公式を用いて，
\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} & \le \left(\frac{2}{n-1}\right)^{\frac{n-1}{2} \cdot \frac{1}{n}} \\ &\le \sqrt[4]{\frac{2}{n-1}} \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}
であることから，逆数を取ることでわかります。（実際の頭の中では \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 を考えて，ダランベールの公式を当てはめているんですけどね。）
\sin のマクローリン展開ついては，以下で解説しています。
テイラー展開・マクローリン展開そのものに関しては，以下で解説しています。
