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【fxy=fyx】シュワルツの定理とその証明~偏微分の順序交換~

微分積分学(大学)
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高階偏微分においては,「偏微分する順番は多くの場合,気にしなくて良い」という定理があります。シュワルツの定理と呼ばれる本定理を紹介し,それを証明したいと思います。

最後には,シュワルツの定理が適用できない例(偏微分の順序交換ができない例)も述べます。

本記事は偏微分を既知とします。これについては,偏微分とは~定義と例題と図形的意味~を参照してください。

【fxy=fyx】シュワルツの定理

以下,特に言及しない限り, A\subset \mathbb{R}^2 を2次元の領域とし, f\colon A\to \mathbb{R} を2変数実数関数とします。

定理(シュワルツの定理)

2変数関数 f(x,y) (a,b)\in A の近くで f_y, f_{xy} が存在するとし, f_{xy} (a,b) で連続とする。
このとき, f_{yx}(a,b) も存在して,

\color{red}f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)


が成立する。

多くの場合において,偏微分する順番は気にしなくて良いと言っている定理です。

これを用いると,以下のようなことが直ちに従います。

系(偏微分の順序交換)

  1. 偏導関数 f_{xy},f_y が存在して, f_{xy} が連続ならば,偏導関数 f_{yx} も存在して, f_{xy}=f_{yx} である。
  2. 偏導関数 f_{xy},f_{yx} が存在して,少なくとも一方が連続ならば, f_{xy}=f_{yx} である。
  3. f C^2 級であれば, f_{xy} = f_{yx} である。
  4. f C^n 級であるならば, k 階偏導関数 (0\le k \le n ) は全て
    \frac{\partial^k f}{\partial x^r \partial y^{k-r}} \quad (0\le r\le k) の形でかける。

f C^n であるとは, f n 階までのあらゆる偏導関数をもち,それらがすべて連続であることを指します(→C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ)。

4.は非常に便利ですね。さらに, C^n 級の m 変数関数 f\colon \mathbb{R}^m\to \mathbb{R} における偏微分も,

\frac{\partial^{n_1+n_2+\dots +n_m} f}{\partial x_1^{n_1} \partial x_2^{n_2} \dots \partial x_m^{n_m} } \quad (n_1+n_2+\dots +n_m \le n)


の形でかけます。

シュワルツの定理の証明

シュワルツの定理を証明しましょう。

証明

\varphi(x,y)=f(x,y)-f(x,b) とおく。絶対値が十分小さい h,k をとると, x に関する平均値の定理より,

\begin{aligned}&\varphi(a+h,b+k) - \varphi(a,b+k)\\ &= h\varphi_x (a+\theta_k h, b+k) \\ &= h\{ f_x(a+\theta_k h, b+k)-f_x(a+\theta_k h, b)\} \end{aligned}\tag{1}


となる 0\le\theta_k\le 1 が存在する。さらに, y に関する平均値の定理より,

\begin{aligned} &f_x(a+\theta_k h, b+k)-f_x(a+\theta_k h, b) \\ &= kf_{xy} (a+\theta_k h, b+\theta'_{h,k}k) \end{aligned} \tag{2}


となる 0\le\theta'_{h,k}\le 1 が存在する。 ここで,

\begin{aligned} &\frac{f_y(a+h,b) - f_y(a,b)}{h} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{\varphi(a+h,b+k)}{hk} - \lim_{k\to 0} \frac{\varphi(a,b+k)}{hk} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{ \varphi(a+h,b+k) - \varphi(a,b+k) }{hk} \end{aligned}


であり,これと (1),(2) 式より,

\begin{aligned} &\frac{f_y(a+h,b) - f_y(a,b)}{h} \\ &= \lim_{k\to 0} f_{xy} (a+\theta_k h ,b+\theta'_{h,k}k) \end{aligned}


である。 f_{xy} (a,b) で連続なので,両辺 h\to 0 として,

\begin{aligned} f_{yx}(a,b) &= \lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} f_{xy} (a+\theta_k h ,b+\theta'_{h,k}k) \\ &= \lim_{(h,k)\to (0,0) } f_{xy} (a+\theta_k h ,b+\theta'_{h,k}k)\\ &= f_{xy}(a,b). \end{aligned}

証明終

偏微分の順序交換ができない例

上では,偏微分の順序交換ができる十分条件を考えましたが,逆に順序交換ができない例を見ておきましょう。以下は有名な例です。

偏微分の順序交換ができない例

f(x,y)=\begin{dcases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} &(x,y)\ne (0,0), \\ 0 & (x,y) = (0,0)\end{dcases}


は, f_{xy}(0,0) = 0\ne 1 = f_{yx}(0,0) となる。

\begin{aligned} f_x(0,y) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}\\ &= -y\end{aligned}


より, f_{xy}(0,y)=-1 ですが,

\begin{aligned} f_y(x,0) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x,h)-f(x,0)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{x(x^2-h^2)}{x^2+h^2}\\ &= x\end{aligned}


なので, f_{yx}(0,x) = 1 となって, f_{xy}(0,0) = 0\ne 1 = f_{yx}(0,0) ですね。

上の計算では出てきませんが, f_{xy}(0,0) で連続にならないことが計算により確認できるため,シュワルツの定理は使えません。

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参考

  1. 吹田信之, 新保経彦「理工系の微分積分学」(学術図書出版社, 2023)