解析学(大学)その他

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区間縮小法の原理とその証明~実数の連続性~

区間縮小法の原理とは,単調減少な閉区間の列の幅が0に収束するならば,閉区間は最後は1点に収束するという定理です。区間縮小法の原理は,実数の連続性が深く関係しています。区間縮小法の原理について,実数の連続性を認めて証明し,逆に区間縮小法の原理から実数の連続性を導くこともできるため,それも紹介します。
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デデキント切断による実数の構成を解説

デデキント切断をざっくり説明すると,有理数のみの数直線を2つに切断して,その「切り口」を新たに数と思うことで,実数を定義しようというものです。これにより,有理数にはない「実数の連続性」が成り立ちます。デデキント切断について,その定義から実数の定義を紹介し,さらに実数の連続性について述べ,実数の演算を定義していきましょう。
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カントール関数のさまざまな定義とその重要な性質5つ

カントール関数 (Cantor function) とは,一様連続だが絶対連続でない関数の例の一つです。悪魔の階段ともいわれ,病的な関数として知られています。カントール関数を分かりやすく定義し,その性質を証明していきましょう。
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リプシッツ連続とは~定義と性質・他の連続性との関係など~

関数fがリプシッツ連続(Lipschitz continuous)であるとは,|f(x)-f(y)| ≦ K|x-y| が成り立つことを指します。リプシッツ連続について,その定義と例,一様連続など他の連続性との関係,微分と関連する性質について述べましょう。
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凸関数と凸不等式(イェンセンの不等式)についてかなり詳しく

凸関数 (convex function) は,それ自身が研究対象の一つであり,凸解析 (convex analysis) といわれることがあります。凸関数・凹関数と凸不等式(イェンセンの不等式)について,基本的なことを詳しくまとめましょう。
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絶対連続な関数とは~定義と例と性質4つ~

絶対連続な関数とは,一様連続の定義をさらに厳しくしたような感じで,測度の絶対連続性の概念とも密接に関連しています。絶対連続性について,その定義・例・性質を紹介しましょう。
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有界変動関数の定義と例といくつかの大事な性質

有界変動関数とは,「変動」つまり上下にどのくらい動くかが,「有界」すなわちそんなに変動しないということです。有界変動関数は,2つの単調増加関数の差で表すことができることが知られています。有界変動関数について,その定義と,大事な性質を証明付きで紹介していきましょう。
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無限積の定義と性質・無限和の収束との関係

無限積あるいは無限乗積 (infinite product) とは,無限個の積のことをいいます。無限積の定義と,その収束性について,無限和との関連性や絶対収束を含めて述べましょう。
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【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく

コーシーの関数方程式 (Cauchy's functional equation) とは,f(x+y)=f(x)+f(y)となる関数方程式のことを言います。これの解fを求め,さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。
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ヤングの不等式の証明とその一般化

ヤングの不等式(Young's inequality)とは,任意のa,b>0 と 1/p+1/q=1をみたす p,q>1 に対し,ab ≦ a^p/p + b^q/q という不等式のことを言います。これについて,証明とその発展形を紹介しましょう。
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