【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式について詳しく

解析学(大学)その他

コーシーの関数方程式 (Cauchy’s functional equation) とは, f(x+y)=f(x)+f(y) となる関数方程式のことを言います。これの解 f を求め,さらにその関連である関数方程式の解を求めましょう。

【f(x+y)=f(x)+f(y)】コーシーの関数方程式とは

定義(コーシーの関数方程式)

f\colon \R\to\R関数とする。

\color{red} f(x+y)=f(x)+f(y)\quad x,y\in \R


をみたすとき,これをコーシーの関数方程式 (Cauchy’s functional equation) といい, f加法的関数 (additive function) という。

これは非常に有名な関数方程式です。さて,この方程式を解く方法を考えましょう。

定義より, f(0+0)=f(0)+f(0) なので, f(0)=0 ですね。

まず,有理数上で解き,その上で実数全体での解を求めます。

有理数上のコーシーの関数方程式

定理1(有理数上のコーシーの関数方程式)

コーシーの関数方程式

\color{red}f(x+y)=f(x)+f(y),\quad x,y\in \R


をみたす関数 f\colon \R\to\R q\in \mathbb{Q} のとき,\color{red} f(qx)=qf(x)\;(x\in\R) と表せる。
特に, c=f(1) とすれば, \color{red}f(q)=cq である。

特に, f(x+y)=f(x)+f(y),\quad x,y\in\mathbb{Q}


となる f\colon \mathbb{Q}\to \R f(x)=cx\;(x\in\mathbb{Q}) に限ることになりますね。

この証明は非常に基本的で,大事です。テクニックとして抑えておくとよいです。

証明

以下, x\in\R を任意の実数とする。

Step1:まず正の整数 n\in\mathbb{N} に対し, f(nx)=nf(x) を示す。

f の加法性より,

\begin{aligned}f(nx)&=f(x)+f((n-1)x)\\&= 2f(x)+f((n-2)x)\\ &= 3f(x)+f((n-3)x)\\ &\;\;\vdots \\ &= nf(x) \end{aligned}


であるから,Step1が示せた。

Step2:次に整数 n\in\mathbb{Z} に対し, f(nx)=nf(x) を示す。

n>0 とすると,

\begin{aligned}f(nx)+f(-nx) &= f(nx+(-nx)) \\&= f(0)=0\end{aligned}


より, f(-nx)=-f(nx) である。これとStep1より,

f(-nx)=-nf(x)


であるから,Step2が示せた。

Step3:整数 m\ne 0 に対し,\displaystyle f\left(\frac{x}{m}\right) = \frac{f(x)}{m} を示す。

Step2で得られた式 f(nx)=nf(x) n m に, x x/m に置き換えると,

f\left(m\cdot \frac{x}{m}\right)=mf\left(\frac{x}{m}\right)


である。すなわち, f(x)=mf(x/m) なので, f(x/m)=f(x)/m である。

Step4:最後に,有理数 q\in\mathbb{Q} に対し, f(qx)=qf(x) を示す。

q=n/m \;(m,n\in\mathbb{Z},\, m\ne 0) と定める。Step2で得られた式 f(nx)=nf(x) x x/m に置き換えて適用した後に,Step3で得られた式 f(x/m)=f(x)/m を適用すると,

f\left(\frac{n}{m}x\right)= nf\left(\frac{1}{m} x\right) = \frac{n}{m}f(x)


となって,結局題意は示された。

証明終

「正の整数 → 整数 → 1/mの形 → 有理数」のように,順々に広げる形で証明できましたね。この証明は,何も見ないで出来るようにしておいた方が良いと思います。

実数上のコーシーの関数方程式

さて,上では x\in\mathbb{Q} のとき, f(x)=cx と表せることを示しました。これを x\in\R に拡張しましょう。

定理2(実数上のコーシーの関数方程式)

コーシーの関数方程式

\color{red}f(x+y)=f(x)+f(y),\quad x,y\in \R


をみたす関数 f\colon \R\to\R が以下のいずれかをみたすとする。

  1. f はある1点で連続
  2. f はある区間で単調
  3. f はある区間で有界
  4. f可測

このとき, c=f(1) とすると,\color{red} f(x)=cx と表せる。

一方で,以上のいずれも仮定せず,選択公理を認めると, f f(x)=cx 以外に無数に存在する。

1.~3.の証明は理系大学生なら理解できると思います。4.と一番最後の話は,少し専門的な数学の知識が必要です。順番に見ていきましょう。

1. ある1点で連続なら f(x)=cx

証明

まず, f がある1点で連続なら,連続関数であることを示す。 f x=a で連続であるとすると,任意の点 b\in \R に対し, f の加法性より,

\begin{aligned} f(b+h)-f(b)&= f(h)\\ &= f(a+h)-f(a)\\&\xrightarrow{h\to 0} 0 \end{aligned}


となる。よって f が連続関数であることが示せた。

前節で, \mathbb{Q} f(x)=cx であることは示せており,\mathbb{Q} \R稠密であるから, f の連続性より, f(x)=cx \; (x\in\R) となる。

証明終

2. ある区間で単調なら f(x)=cx

証明

f が区間 (a,b) 上広義単調増加であるとする。 x\in (a,b) に対し,

  • a<p_1<p_2<\dots < x かつ p_n\to x となる有理数列 \{p_n \}\subset \mathbb{Q}
  • x<\dots < q_2<q_1<b かつ q_n\to x となる有理数列 \{q_n\}\subset \mathbb{Q}

をとる。 f の単調性と, f(x)=cx \; (x\in\mathbb{Q})より,

cp_n= f(p_n)\le f(x)\le f(q_n)=cq_n


が成り立ち,各辺 n\to\infty とすることで, f(x)=cx がわかる。x\in (a,b) なら f(x)=cx が結論付けられたので, f (a,b) 上連続であり,1.に帰着できる。

証明終

なお,関数が単調なら,不連続点は高々可算個であることが知られています(→【Frodaの定理】単調関数の不連続点は高々可算個であることの証明)。これを用いると,単調な関数には,少なくとも一つの連続点が存在しますから,1.に帰着して証明することができますね。これでも構いません。

3. ある区間で有界なら f(x)=cx

証明

f(x) [a,b]有界であるとする。このとき, x\in [a,b] |f(x)|\le M かつ |a|<M かつ |b|<M となる M>0 がとれる。

x\in \R とする。正の整数 n\in\mathbb{N} に対し, nx-b<q_n<nx-a となる有理数列 \{q_n\}\subset \mathbb{Q} をとる。このとき, nx-q_n\in [a,b] である。 f の加法性と定理1から,

\begin{aligned} |f(x)-cx| &=\frac{1}{n}|nf(x)-cnx| \\ &= \frac{1}{n}| f(nx)-cnx|\\ &= \frac{1}{n}|f(nx-q_n)+f(q_n)-cnx|\\ &= \frac{1}{n} |f(nx-q_n)+cq_n-cnx|\\ &\le \frac{1}{n}( |f(nx-q_n)| +|c||q_n-nx|)\\ &\le \frac{1}{n} (M+|c|M)\\ &\xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}


となるから, f(x)=cx である。

証明終

4. 可測なら f(x)=cx

証明

f\colon \R\to\R可測とし, \mu をルベーグ測度とする。 n\in\mathbb{Z} に対し,

A_n = \{x\in\R\mid n\le f(x)< n+1\}


とおくと, \{A_n\} はどの2つも共通部分を持たず, \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} A_n=\R であるから, \mu(A_{n_0})>0 となる n_0\in\mathbb{Z} が存在する。

A_{n_0} n_0\le f< n_0+1 であるから, A_{n_0} f は有界である ( |f|\le |n_0|+1 とできる)。ここで, a,b\in A_{n_0} とすると,

\begin{aligned}|f(a+b)|&=|f(a)+f(b)|\\&\le |f(a)|+|f(b)|\\&\le 2|n_0|+2\end{aligned}


であるから, f A_{ n_0}+A_{n_0} = \{a+b\mid a,b\in A_{n_0}\} 上も有界である。シュタインハウスの定理より, A_{n_0} +A_{n_0} は区間を含むから,3.に帰着できる。

証明終

シュタインハウスの定理を用いることで,簡単に証明できましたね。シュタインハウスの定理の証明は以下で行っています。

1~4のいずれも仮定せず,選択公理を認めた場合

連続性・単調性・有界性・可測性のいずれも仮定せず,選択公理を認めた場合は,コーシーの関数方程式の解は無数にあることが知られています。

\R\mathbb{Q} 上のベクトル空間とみなして,その上の基底を考えます。この基底をハメル基底 (Hamel basis) といい,選択公理を認めることで,その存在が証明できます。すなわち,ハメル基底 H\subset \R とは以下のようなものです。

ハメル基底
  • 任意の有限個の h_1,h_2,\dots, h_n \in Hq_1,q_2,\dots, q_n \in\mathbb{Q} に対し,
    \color{red} \begin{aligned}&q_1h_1+q_2h_2+\dots +q_nh_n=0\\ &\implies q_1=q_2=\dots =q_n=0 \end{aligned}
    が成り立つ。(一次独立)
  • 任意の r\in\R に対して,ある有限個の h_1,h_2,\dots, h_n\in H q_1,q_2,\dots, q_n\in\mathbb{Q} が存在して,
    \color{red} r=q_1h_1+q_2h_2+\dots +q_nh_n

とできる H\subset \R のことをハメル基底 (Hamel basis) という。

詳しくは,以下で解説しています。

いま,ハメル基底を H\subset \R としましょう。

コーシーの関数方程式は, f(x+y)=f(x)+f(y) に加えて,定理1 で示したように, q\in\mathbb{Q} に対し, f(qx)=qf(x)\;(x\in\R) も満たします。したがって,\R \mathbb{Q}ベクトル空間とみなすと, f\colon \R\to\R はその上の線形写像になります。

線形写像は基底の行先を決めるだけで,すべての元の行先が決まります。(これは【表現行列】線形写像の行列表示を詳しくの最初の方でも軽く解説しています)ゆえに,関数 g\colon H\to \R を決めれば,線形写像 f\colon \R\to\R が一意に決まります。逆に言うと, g\colon H\to \R の数だけ, f\colon \R\to\R が作れるということです。

g\colon H\to \R の作り方は無数にありますから, f も無数にあるということになります。

コーシーの関数方程式の関連

コーシーの関数方程式に帰着させることで,以下の関数方程式の解も求めることが可能です。簡単のため,関数 f には連続性を課すことにしましょう。有界性や単調性,可測性を課しても同様です。

定理(コーシーの関数方程式の関連)

f\colon \R(\text{ or } (0,\infty) )\to \R を連続関数とする。このとき,

  1. f(x+y)=f(x)f(y) かつ f(x)>0 の解は \color{red}f(x)=e^{cx}, \;c,x\in\R である。
  2. f(xy)=f(x)+f(y), \; x,y>0 の解は \color{red}f(x) = c\log x,\; c\in\R,x>0 である。
  3. f(xy) =f(x)f(y),\; x,y>0 かつ f(x)>0 の解は \color{red} f(x) = x^c ,\; c\in\R,x>0 である。

簡単に証明しておきましょう。

証明

1. f(x+y)=f(x)f(y) について

\color{red}g(x)=\log f(x) とすると, g(x+y)=g(x)+g(y) になるから, g はコーシーの関数方程式をみたす。 g は連続より, g(x)=cx. ゆえに, f(x)=e^{g(x)}=e^{cx}.

2. f(xy)=f(x)+f(y) について

\color{red} g(x)=f(e^x) とおくと, g(x+y)=g(x)+g(y) になるから, g はコーシーの関数方程式をみたす。 g は連続より, g(x)=cx. ゆえに, f(x)=g(\log x)=c\log x.

3. f(xy)=f(x)+f(y) について

\color{red} g(x)=\log f(e^x) とおくと, g(x+y)=g(x)+g(y) になるから, g はコーシーの関数方程式をみたす。 g は連続より, g(x)=cx. ゆえに, f(x)=e^{g(\log x)}=e^{c\log x}=x^c.

証明終

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参考

  1. M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, 2nd edition. Birkhäuser Verlag, 2009.
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