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カントール集合の定義と性質3つの証明

解析学(大学)その他

カントール集合とは,フラクタルと呼ばれる図形の1つで,連続体濃度を持つにもかかわらず,ルベーグ測度が 0 となる集合として有名です。

カントール集合について,その定義と性質3つとその証明を行いましょう。

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カントール集合の定義

まず, [0,1] 区間を3等分し,間の区間 \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right) をくり抜くことを考えましょう。

線分を3等分して切り抜いたもの

残った2つの閉区間 \Bigl[0,\cfrac{1}{3}\Bigr]\cup \Bigl[\cfrac{2}{3},1\Bigr] をそれぞれ3等分し,間の区間 \left(\dfrac{1}{9},\dfrac{2}{9}\right), \left(\dfrac{7}{9}, \dfrac{8}{9}\right) をくり抜きましょう。

線分を3等分して切り抜くことを2回繰り返したもの

同様の操作を再び各閉区間で繰り返し,この操作を無限回行って得られるのが,カントール集合です。(下の図は,くり抜きを4回繰り返したものです)

カントール集合を作る過程

定義を述べましょう。

定義(カントール集合)

線分 [0,1] を三等分し,間をくり抜く作業を無限回繰り返したときに残る集合

\color{red}\mathscr{C}= [0,1]\setminus \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1} \left( \frac{3k+1}{3^n},\frac{3k+2}{3^n}\right)


カントール集合 (Cantor set) という。

[0,1] から \left( \dfrac{3k+1}{3^n},\dfrac{3k+2}{3^n}\right) を除く形で定義しましたが,これは, \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right) をくり抜き,次に \left(\dfrac{1}{9},\dfrac{2}{9}\right), \left(\dfrac{4}{9}, \dfrac{5}{9}\right), \left(\dfrac{7}{9},\dfrac{8}{9}\right) をくり抜き…という形になっており,実際は既に切り抜いているため切り抜かなくてもよい \left(\dfrac{4}{9}, \dfrac{5}{9}\right) も混ざっています。

カントール集合は,フラクタル図形と呼ばれる図形の1つで,自己相似性をもちます。「自己相似性」とは,ざっくりいうと,拡大しても同じような様相を表すことです。

また,カントール集合はカントールの三進集合ともいいます。カントール集合に属する数字を三進数

0.x_1x_2x_3\dots_{(3)}= \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n}

で表すと, 0.1_{(3)}=0.02222\dots_{(3)} などとすることで,任意の桁に 1 が登場しないようにできます。よって,カントール集合とは,三進展開したときに,どの桁にも 1 が登場しないものの集まりである,ということができます。具体的には,

\color{red} \mathscr{C}=\left\{\sum_{n=1}^\infty\frac{2a_n}{3^n}\middle| a_n =0,1\right\}


と表せます。

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カントール集合の性質3つ

ここからは,カントール集合の性質3つを紹介し,それを証明していきましょう。

定理(カントール集合の性質

  1. カントール集合は閉集合である。特に,コンパクトである。
  2. カントール集合は連続体濃度( \mathbb{R} と同じ濃度)を持つ。
  3. カントール集合はルベーグ零集合,すなわちルベーグ測度 0 の集合である。

それぞれ証明しましょう。以下の証明では,

J_{n}= \bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left( \frac{3k+1}{3^n},\frac{3k+2}{3^n}\right), \; J= \bigcup_{n=1}^\infty J_{n}


とし,カントール集合は \mathscr{C}= [0,1]\setminus J とかくことにします。

1. カントール集合は閉集合である

証明

J は開区間の和より開集合であり,カントール集合は \mathscr{C}=[0,1]\setminus J より,閉集合である。

証明終

2. カントール集合は連続体濃度を持つ

証明

[0,1] 上の二進展開と,[0,1] 上の三進展開で各桁 0,2 のみが現れるものとの間には,各桁 0\to 0, \; 1\to 2 とするような単射が定まる。ただし, 2 進展開については 0.0\dots 0111\dots のような,最後に 1 のみが続くものは考えず,これは 0.0\dots 1000\dots として処理するものとする。

これと \mathscr{C}\subset[0,1] であることから,濃度について, |[0,1]|\le |\mathscr{C}|\le |[0,1]| となるため,カントール集合は [0,1] と同じ濃度,すなわち連続体濃度である。

証明終

単射を作る際に述べた但し書きに注意してください。

二進展開については, 0.0\dots 0111\dots = 0.0\dots 1000\dots ですが,これらを各桁 0\to 0, \;1\to 2 でうつしたものは 0.0\dots 0222\dots \ne 0.0\dots 2000\dots ですから,どちらで処理するかちゃんと明示しておかないと写像が well-defined (ちゃんと正しく定義されている状態)でなくなってしまいます。

なお,これが理由で,ここで構成した写像全単射ではありません。三進展開で 0.0\dots 2000\dots に対応する二進展開の元はあっても, 0.0\dots 0222\dots に対応する二進展開の元がないからです。なお,この構成はカントール関数 (Cantor function) の構成にも使われます(→カントール関数のさまざまな定義とその重要な性質5つ)。

なお,カントール集合の境界になるのは,k/3^n\; (1\le k\le 3^n,\;n\ge 1) の形で表せるものですが,これは可算個しかないため,カントール集合は,集合の境界の点よりも,内部の点のほうがはるかに多いことが分かります。

3. カントール集合はルベーグ測度0の集合である

証明をざっくり説明すると,「くり抜き」ステップを重ねることで,残っている部分から集合が 1/3 ずつ削られていくため,測度が 2/3 倍ずつされていくことを用います。

証明

\mu をルベーグ測度とする。 C_n = [0,1]\setminus \bigcup_{k=1}^n J_k と定めると, C_n \supset C_{n+1} かつ \mathscr{C}=\bigcap_{n=1}^\infty C_n である。よって,

\mu(\mathscr{C})=\lim_{n\to\infty} \mu(C_n) = \lim_{m\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n=0.

証明終

カントール集合は,連続体濃度であるにもかかわらず,ルベーグ測度が 0 である有名な例です。

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