Frullani integralとその証明

解析学(大学)その他

Frullani 積分 (Frullani integral) について,その主張を紹介し,証明します。

Frullani integralの主張

定理(Frullani’s integral)

f\colon [0,\infty) \to \mathbb{R} C^1 級関数(すなわち微分可能で導関数が連続)とし,さらに f(\infty) = \lim_{x\to\infty} f(x) が収束するとする。
このとき, 0 < a < b に対し,

\color{red}\begin{aligned} & \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &\qquad = (f(\infty) -f(0))\log\frac{b}{a} \end{aligned}


が成立する。

C^1 級関数の意味について,もし分からない場合は,C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つを参照してください。

早速証明しましょう。

Frullani integralの証明

証明

c>0 とする。

\begin{aligned} \int_0^c \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx &= \int_0^c \int_a^b f^\prime(tx) \, dt dx. \\ \end{aligned}


フビニの定理より,積分の順序を交換して,

\begin{aligned}\int_0^c \int_a^b f^\prime(tx) \, dt dx &= \int_a^b \int_0^c f'(tx)\,dxdt \\ &= \int_a^b \left[ \frac{f(tx)}{t}\right]_{x=0}^c \, dt \\ &= \int_a^b \frac{f(tc)-f(0)}{t} \, dt .\\ \end{aligned}


f [0, \infty) 上有界であるから, |f(x)|<M \,\, (0\le x< \infty) となる M>0 を取る。すると, |(f(tc)-f(0))/t| \le 2M/t であり,右辺は [a,b] 上可積分であるから,ルベーグの優収束定理より,

\begin{aligned}& \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &= \lim_{c\to\infty} \int_a^b \frac{f(tc)-f(0)}{t} \, dt \\ &= \int_a^b \frac{f(\infty)-f(0)}{t}\, dt \\ &= (f(\infty)-f(0)) [\log t] _a^b \\ &= (f(\infty)-f(0)) \log\frac{b}{a}. \end{aligned}


よって,


\begin{aligned} & \int_0^\infty \frac{f(bx) - f(ax)}{x} \, dx \\ &\qquad = (f(\infty) -f(0))\log\frac{b}{a} \end{aligned}


である。

証明終

証明できましたね。フビニの定理を使う際に,積分の絶対収束性が要るのですが,そこで f' の連続性を用いて,有界領域内で重積分が絶対収束するようにしています。

Frullani integralの例

一つだけ例を挙げましょう。

0<a<b に対し,

\color{red} \int_0^\infty \frac{e^{-bx} - e^{-ax}}{x} \, dx = \log\frac{b}{a}.

タイトルとURLをコピーしました