ヤングの不等式の証明とその一般化

解析学(大学)その他

ヤングの不等式とは,任意の a,b\ge 0 1/p+1/q=1 をみたす p,q>1 に対し,

ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}


という不等式のことを言います。これについて,証明とその発展形を紹介しましょう。

ヤングの不等式とは

定理(ヤングの不等式; Young’s inequality)

a,b\ge 0,\; p,q>1 かつ 1/p+1/q=1 とする。このとき,

\color{red} \large ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}


であり,等号成立は a^p=b^q のとき。

ヤングの不等式は,相加相乗平均の不等式の一般化になっています。実際, p=q=1/2 とすると,

ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}


ですね。

ヤングの不等式を証明しましょう。もっとも一般的なのは,凸関数の議論を用いることです。

証明

a=0 または b=0 のときは明らかなので,a,b>0 としてよい。 x\mapsto \log x は凸関数なのと, 1/p+1/q=1 より,

\begin{aligned}\log ab =\log a+\log b&=\frac{1}{p} \log a^p +\frac{1}{q}\log b^q \\&\le \log\left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\end{aligned}


である(上は a^p<b^q のときの図)。特に, x\mapsto \log x は狭義凸なので,等号成立は a^p=b^q のときである。両端辺を比較することで,

ab\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}


を得る。

証明終

ヤングの不等式の一般化

定理(積分型のヤングの不等式)

f\colon [0,c] \to [0,f(c)] f(0)=0 をみたす狭義単調増加な連続関数とする。このとき, 0\le a\le c ,\; 0\le b\le f(c) に対し,

\color{red} ab\le \int_0^a f(x)\,dx +\int_0^b f^{-1}(x)\,dx

これの証明は,下の図を見れば一発で分かるでしょう。

積分のヤングの不等式

この式に, f(x)=x^{p-1} を入れると,

\begin{aligned}ab&\le \int_0^a x^{p-1}\,dx +\int_0^b x^{1/(p-1)}\,dx \\ &= \left[\frac{1}{p} x^p\right]_0^a + \left[ \frac{p-1}{p} x^{p/(p-1)} \right]_0^b \\ &= \left[\frac{1}{p} x^p\right]_0^a + \left[ \frac{1}{q} x^{q} \right]_0^b \\ &=\frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q} \end{aligned}


ですから,前半のヤングの不等式の一般化になっていますね。

ヤングの不等式は,解析学においてヘルダーの不等式など,別の不等式の証明に使われます。ヘルダーの不等式は以下で解説しています。

タイトルとURLをコピーしました