凸包とは何か~定義と具体例と性質~

解析学(大学)その他

集合 A の凸包とは,A を含む最小の凸集合を指します。これについて,定義と具体例と性質を述べましょう。

凸包とは

定義(凸包)

A\subset\mathbb{R}^n に対し, A を含む最小の凸集合を凸包 (convex hull)という。本記事ではこれを \color{red} \operatorname{Conv}(A) とかくことにする。

A\subset\mathbb{R}^n としましたが, A\subset V で, V \mathbb{R}ベクトル空間としても構いません。

一応凸集合の定義を確認しておきましょう。

凸集合とは

C\subset \mathbb{R}^n凸集合 (convex set) であるとは,

\begin{aligned}&\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2}\in C\\&\implies (1-\theta)\boldsymbol{x_1}+\theta \boldsymbol{x_2} \in C \; (-1\le\theta\le 1) \end{aligned}


が成り立つことを言う。

凸集合とそうでない集合の例は,以下の絵が分かりやすいでしょう。

凸集合の図解

詳しくは,以下の記事で解説しています。

凸包の具体例

以下では, 2 次元の集合における,元の図形と,その凸包の具体例を挙げましょう。

凸包の具体例1
凸包の具体例2
凸包の具体例3
凸包の具体例4
凸包の具体例5

凸包の性質

凸包の簡単な性質を挙げましょう。

定理(凸包の性質)

A,B\subset \mathbb{R}^n とする。

  1. \operatorname{Conv}(A) は, A を含むすべての凸集合の共通部分である。
  2. A\subset B \implies \operatorname{Conv}(A)\subset \operatorname{Conv}(B).
  3. \operatorname{Conv}(\operatorname{Conv}(A))=\operatorname{Conv}(A).

A,B\subset\mathbb{R}^n としましたが, A,B\subset V で, V \mathbb{R}ベクトル空間としても構いません。

どの証明も簡単ですから,証明しておきましょう。

証明

1.について

A を含むすべての凸集合の共通部分はまた凸集合になる。よってこれは A を含む最小の凸集合である。

2.について

A\subset \operatorname{Conv}(B) かつ \operatorname{Conv}(B) は凸より,\operatorname{Conv}(A)\subset \operatorname{Conv}(B).

3.について

定義より, \operatorname{Conv}(A)\subset \operatorname{Conv}(\operatorname{Conv}(A)).

\operatorname{Conv}(A)\subset \operatorname{Conv}(A) かつ右辺は凸より, \operatorname{Conv}(\operatorname{Conv}(A))\subset \operatorname{Conv}(A).

証明終

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