二項演算・単項演算とは

二項演算・単項演算は，厳密には集合上の写像として定義されます。これについて，その定義と例を紹介しましょう。

二項演算とは， $a,b$ に対し， $a+b$ を作るような演算を指します。これは何かというと，集合の中から2つ元を取ってきて，それを組み合わせて別の元を作る操作ですね。

これは，直積集合 $A\times A$ から $A$ への写像と言えますね。

単項演算とは， $a$ に対し， $-a$ を作るような演算を指します。これは何かというと，集合の中から1つ元を取ってきて，それから別の元を作る操作ですね。

これは， $A$ から $A$ への写像と言えますね。

ちゃんとした定義をまとめましょう。

定義（二項演算・単項演算）

$A$ を空でない集合とする。

$\phi$ が $A$ 上の二項演算 (binary operation) であるとは，写像 $\color{red}\phi \colon A\times A \to A$ のことをいう。

$\psi$ が $A$ 上の単項演算 (unary operation) であるとは，写像 $\color{red} \psi\colon A\to A$ のことをいう。

「演算」とは写像だと考えられるわけですね。例をまとめましょう。

二項演算・単項演算の例

二項演算の例1(数の和).

$\mathbb{R}$ 上の和の演算 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\ni (a,b)\mapsto a+b \in\mathbb{R}$ は二項演算である。

例にも述べた，和の演算です。

二項演算の例2(数の積).

$\mathbb{R}$ 上の積の演算 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\ni (a,b)\mapsto ab \in\mathbb{R}$ は二項演算である。

積についても同様ですね。

単項演算の例1(正負の変換).

$\mathbb{R}$ 上の正負の変換の演算 $\mathbb{R}\ni a \mapsto -a \in\mathbb{R}$ は単項演算である。

正負を変える操作です。上の画像で例にも述べたとおりですね。

単項演算の例2(インクリメント).

$\mathbb{Z}$ 上の $1$ 加える演算 $\mathbb{Z}\ni a \mapsto a+1 \in\mathbb{Z}$ は単項演算である。

プログラミングだと a++; が上と同じことを意味することが多いでしょう。これを「インクリメント」ということがあります。これも単項演算の一種ですね。

もう少し別の例を紹介しましょう。

二項演算・単項演算の例3.

$\mathcal{F}$ を $\emptyset \in\mathcal{F}$ かつ

\begin{aligned}A,B\in\mathcal{F}&\implies A\cup B\in\mathcal{F}, \\ A\in\mathcal{F} &\implies A^c\in\mathcal{F} \end{aligned}

をみたす集合族とする。このとき， $(A,B)\mapsto A\cup B$ は二項演算で， $A\mapsto A^c$ は単項演算である。

上のような $\mathcal{F}$ を有限加法族 (finitely additive class) といいます(→σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく)。