二項演算・単項演算とは

記号・記法

二項演算・単項演算は,厳密には集合上の写像として定義されます。これについて,その定義と例を紹介しましょう。

二項演算・単項演算とは

二項演算とは, a,b に対し,a+b を作るような演算を指します。これは何かというと,集合の中から2つ元を取ってきて,それを組み合わせて別の元を作る操作ですね。

二項演算の例

これは,直積集合 A\times A から A への写像と言えますね。

単項演算とは, a に対し, -a を作るような演算を指します。これは何かというと,集合の中から1つ元を取ってきて,それから別の元を作る操作ですね。

単項演算の例

これは,A から A への写像と言えますね。

ちゃんとした定義をまとめましょう。

定義(二項演算・単項演算)

A を空でない集合とする。

\phi A 上の二項演算 (binary operation) であるとは,写像 \color{red}\phi \colon A\times A \to A のことをいう。

\psi A 上の単項演算 (unary operation) であるとは,写像 \color{red} \psi\colon A\to A のことをいう。

「演算」とは写像だと考えられるわけですね。例をまとめましょう。

二項演算・単項演算の例

二項演算の例1(数の和).

\mathbb{R} 上の和の演算 \mathbb{R}\times \mathbb{R}\ni (a,b)\mapsto a+b \in\mathbb{R} は二項演算である。

例にも述べた,和の演算です。

二項演算の例2(数の積).

\mathbb{R} 上の積の演算 \mathbb{R}\times \mathbb{R}\ni (a,b)\mapsto ab \in\mathbb{R} は二項演算である。

積についても同様ですね。

単項演算の例1(正負の変換).

\mathbb{R} 上の正負の変換の演算 \mathbb{R}\ni a \mapsto -a \in\mathbb{R} は単項演算である。

正負を変える操作です。上の画像で例にも述べたとおりですね。

単項演算の例2(インクリメント).

\mathbb{Z} 上の 1 加える演算 \mathbb{Z}\ni a \mapsto a+1 \in\mathbb{Z} は単項演算である。

プログラミングだと a++; が上と同じことを意味することが多いでしょう。これを「インクリメント」ということがあります。これも単項演算の一種ですね。

もう少し別の例を紹介しましょう。

二項演算・単項演算の例3.

\mathcal{F} \emptyset \in\mathcal{F} かつ

\begin{aligned}A,B\in\mathcal{F}&\implies A\cup B\in\mathcal{F}, \\ A\in\mathcal{F} &\implies A^c\in\mathcal{F} \end{aligned}


をみたす集合族とする。このとき, (A,B)\mapsto A\cup B は二項演算で, A\mapsto A^c は単項演算である。

上のような \mathcal{F}有限加法族 (finitely additive class) といいます。

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