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全射・単射・全単射の定義をわかりやすく~具体例を添えて~

記号・記法

写像・関数を定義する記事で,以下のような図を用いました。

関数・写像の定義の注意

この図において,「あまり」がでない,すなわち,終域と値域が一致するとき,この写像を全射といい,「2つ以上の要素が対応」付かないとき,単射といい,全射かつ単射のとき,全単射といいます。

これについて,もう少し正式に定義し,イメージをもてるようにしましょう。

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全射・単射・全単射の定義とイメージ

全射の定義

定義(全射)

f\colon X \to Y全射または上への写像 (surjective) であるとは,

f(X) = Y

となること(ここで, f(X) = \{f(x) \in Y \mid x \in X \} である)。
すなわち,任意の y \in Y に対して,ある x\in X が存在して, f(x) = y となることである。
このとき,まれに

\textcolor{red}{ f\colon X \twoheadrightarrow Y}

とかかれる。

終域の方に「あまり」がないということです。
図でイメージすると以下のようになります。

全射のイメージ
全射のイメージ

このように, Y の全ての要素に矢印が向いていることが分かると思います。

単射の定義

定義(単射)

f\colon X \to Y単射または1対1写像(injective) であるとは,

x_1 \ne x_2 \in X \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2)

となること。対偶をとっていいかえると,

f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2

となることである。
このとき,しばしば

\textcolor{red}{f\colon X \hookrightarrow Y}

とかかれる。

異なる「矢印」が同じ Y の要素を指さないということです。
図でイメージすると以下のようになります。

単射のイメージ
単射のイメージ

異なる矢印が,別の要素を指していることに注意してください。

全単射の定義

定義(全単射)

f\colon X \to Y全単射または上への1対1写像 (bijective) であるとは,これが全射かつ単射であること。
すなわち,任意の y \in Y に対して, x \in X がただ一つ存在して, f(x) = y となることである。

全射かつ単射であるため, Yに「あまり」がなく,かつ異なる「矢印」が同じ要素を指さないということです。
図でイメージすると以下のようになります。

全単射のイメージ
全単射のイメージ

すべて」の要素が「1対1に」対応している様子が分かると思います。

具体例を挙げてみましょう。

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全射・単射・全単射の具体例

同じ関数でも,定義域や終域を変えることで,全射になったり単射になったりします。具体例とともに確認していきましょう。

例1.

f(x) = x^2 について,

  • f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} で考えると全射でも単射でもない。
  • f\colon \mathbb{R} \to [0, \infty) で考えると全射となるが単射ではない。
  • f\colon [0, \infty) \to \mathbb{R} で考えると単射となるが全射ではない。
  • f\colon [0, \infty) \to [0, \infty) で考えると全単射である。
y=x^2のグラフ

例2.

f(x) = 1/x について,

  • f\colon \mathbb{R} \setminus\{0\}\to \mathbb{R} \setminus\{0\} で考えて全単射である。

y=1/xのグラフ

まとめ

いま一度次の4つのイメージ図を見比べてみましょう。

全射でも単射でもない図
全射でも単射でもない図
全射だが単射でない図
全射のイメージ

…… Y の全ての要素に矢印が向いている

単射だが全射でない図
単射のイメージ

…… 異なる矢印が,別の要素を指している

全単射である図
全単射のイメージ

…… 「すべて」の要素が「1対1に」対応している

おわりに

これらのイメージをしっかり持ち,使いこなせるようにしていきましょう。

なお,全単射であるとき,逆関数(逆写像)が定義できます。これについては,以下の記事を参照してください。

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