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【指数,対数の記号】数学におけるexp,ln,lg記号とは

記号・記法

数学において, \exp, \ln, \lg はそれぞれ

\begin{gathered} \exp x = e^x, \\ \ln x = \log_{e} x, \\ \lg x = \log_2 x \end{gathered}


の別表記として用いられます。これについて,詳しく掘り下げましょう。

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【指数,対数の記号】数学におけるexp,ln,lg記号の意味

まずはもう一度,定義をまとめておきます。

定義( \exp, \ln, \lg 記号)

数学において, \exp, \ln,\lg はそれぞれ

\color{red} \begin{gathered} \exp x = e^x, \\ \ln x = \log_{e} x, \\ \lg x = \log_2 x \end{gathered}


の別表現である。ただし, e は自然対数の底(ネイピア数)を表す。

それぞれについて,詳しく述べましょう。

exp記号について

\exp x e^x とかくのと同じことです。でも,指数部分が複雑だとどうでしょうか。たとえば,

\exp\left\{-t\left(\frac{\sigma^2}{2}+\int_0^\infty (1-\cos \lambda x) \, dx \right)\right\}


を,

e^{-t\left(\frac{\sigma^2}{2}+\int_0^\infty (1-\cos \lambda x) \, dx \right)}

とかくと,見づらいですよね。このような式は,たとえば,確率論における積率母関数(モーメント母関数)などで出てきます。

このようなことを避けるために,指数部分を小さく書かなくても済む \exp x という表記が使われるわけですね。

ちなみに,指数は exponential というため,その頭文字を取って \exp なわけです。

ln記号について

\ln x は,自然対数 \log_e x と同じことです。

なお,数学では,単に \log x とかいたときに, \log_e x を意味することも多いです。ただ, \log x という表現は,化学などでは常用対数 \log_{10} x にも使われますから, \log x という表現は,文脈依存です。

本サイトでは,単に \log x とかけば,それは自然対数 \log_e x を意味することにしています。数学においては,常用対数を使う場面は少ないですから,日本における多くの書籍でも,そうなっていると思います。(ただし,海外のものは \ln となっているものも一定数あると思います。)

なお, \ln の読み方については,単に「エルエヌ」とか「ログ」と読むのでよいです。由来は natural logarithm とか,ラテン語とか言われていますが,よくわかりません。

lg記号について

\lg x は,2進対数 \log_2 x の意味です。上2つに比べれば,少々マイナーかもしれません。

「計算機科学」や「情報系」において,しばしば使われることがあります。コンピューターは, 0, 1 の文字列,すなわち2進数でデータを処理するため,そういった分野においては,2進対数の都合がいい訳ですね。

ただし,ISO国際規格では,2進対数は \lg x ではなく, \operatorname{lb} x とされています。また,文脈が明らかなときは \log x とかくこともあります。一方で, \lg x は常用対数 \log_{10} x を表すこともあるので,注意が必要です。

ちなみに,2進対数は,英語で Binary logarithm といいます。