正規分布（またはガウス分布）は，確率論や統計学において，最も基本的な連続型の分布だといえます。この分布について，定義と性質を分かりやすくまとめることにしましょう。
正規分布の定義
定義（正規分布）
X を確率変数， \mu\in \mathbb{R},\; \sigma > 0 とする。 X の確率密度関数が
\color{red} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
となるとき， X は平均 \mu，分散 \sigma^2 の正規分布 (normal distribution) に従うといい， \color{red} X\sim N(\mu, \sigma^2) とかく。
特に， \mu=0, \sigma^2=1 となる N(0,1) を標準正規分布 (standard normal distribution) という。
正規分布は，別名ガウス分布 (Gaussian distribution) とも言われます。
確率密度関数が p(x) とは， P(X\in A) = \int_A p(x)\, dx になるということですね。特に今の場合，
\begin{aligned}&P(X\in (-\infty, \infty)) \\&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx = 1 \end{aligned}
となることは，「ガウス積分」によって確認できます(→ガウス積分のさまざまな形とその証明5つ)。
なお，確率密度関数は，指数部分がややこしいため， \displaystyle p(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) とかくことも多いです。
標準正規分布の確率密度関数は，以下のような形になります（釣鐘型といわれます）。
平均 0 を中心に，左右対称になっているのが分かりますね。
また，上の状態から，平均は \mu=0 のままで， \sigma の値を変えると，以下のように変化します。
\sigma が大きくなればなるほど，裾が広くなり，小さければ小さいほど，尖った形になるんですね。
正規分布の性質まとめ
正規分布は重要な性質がたくさんあります。まずは，それらを列挙しましょう。一般の正規分布 N(\mu,\sigma^2) と標準正規分布 N(0,1) それぞれについて，述べてみることにします。
| 正規分布 N(\mu, \sigma^2) | 標準正規分布 N(0,1) | |
|---|---|---|
| 確率 P(X\in A) | \small \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_A e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\, dx | \small \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_A e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx |
| 確率の型 | 連続型 | 連続型 |
| 確率密度関数 p(x) | \small\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} | \small\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} |
| 累積分布関数 F(x) = P(X\le x) | \small \displaystyle \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right] | \small \displaystyle \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] |
| 期待値(平均) E[X] | \mu | 0 |
| 分散 V(X) | \sigma^2 | 1 |
| 標準偏差 \sqrt{V(X)} | \sigma | 1 |
| 歪度 \small \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} | 0 | 0 |
| 尖度 \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3 | 0 | 0 |
| 積率母関数(モーメント母関数) E[e^{tX}] | \displaystyle \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) | \displaystyle e^{t^2/2} |
| 特性関数 E[e^{itX}] | \displaystyle \exp \left(i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) | \displaystyle e^{-t^2/2} |
| 再生性 | \scriptsize \begin{aligned}&X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2_1) ,\, X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2_2) \\ & \implies a_1X_1+a_2X_2 \sim N(a_1\mu_1+a_2\mu_2, a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2)\end{aligned} |
| 標準化 | \small X\sim N(\mu, \sigma^2) \implies \dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) |
| 中心極限定理 (X_k) \text{ : iid} | \frac{X_1+\cdots+ X_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{n\to\infty} N(0,1) |
累積分布関数以降について，一つずつ確認していきます。
正規分布の累積分布関数(分布関数)
定理（正規分布の累積分布関数(分布関数)）
X\sim N(\mu, \sigma^2) とするとき， X の累積分布関数(分布関数)は，
\color{red} \begin{aligned}F(x) &= P(X\le x) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dt \\ &=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]\end{aligned}
である。ただし，\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\, dt (誤差関数, error function)である。
累積分布関数の最後の等式は，正規分布の対称性と置換積分により，
\begin{aligned}& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dt \\ &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{\mu}^xe^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dt \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}} e^{-s^2}\, ds \\ &= \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right] \end{aligned}
であることから分かります。標準正規分布 N(0,1) の累積分布関数をグラフで描くと，以下のようになります。
平均は \mu=0 のままで， \sigma の値を変えると，以下のように変化します。
正規分布の期待値(平均)・分散・標準偏差
定理（正規分布の期待値(平均)・分散・標準偏差）
X\sim N(\mu,\sigma^2 ) とする。このとき， X の期待値(平均)・分散・標準偏差はそれぞれ
\color{red} \begin{aligned} E[X]&= \mu, \\ V(X)&= \sigma^2, \\ \sqrt{V(X)} &= \sigma \end{aligned}
である。
N(\mu, \sigma^2) という表記は，平均と分散を並べて書いたものになります。
なお，標準偏差と正規分布のグラフの関係は，下図のようになります。
\pm\sigma 点は，ちょうど変曲点になっています。
また，ちょうど 95\% になるのは \pm 1.96\sigma， 99\% になるのは \pm 2.58\sigma のところです。
正規分布の期待値・分散・標準偏差の証明については，以下の記事を参照してください。
正規分布の歪度・尖度
定理（正規分布の歪度・尖度）
X\sim N(\mu,\sigma^2 ) とする。このとき， X の歪度・尖度はそれぞれ
\color{red} \begin{aligned} \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}&= 0, \\ \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3&= 0 \\ \end{aligned}
である。
歪度（わいど）とは，分布がどれだけ非対称で歪んで（ゆがんで）いるかを表す指標で，尖度（せんど）とは，「正規分布と比べて」分布がどれだけ尖って（とがって）いるかを表す指標です。正規分布は，ちょうどどちらも 0 になります。
証明については，以下の記事を参照してください。
正規分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数
定理（正規分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数）
X\sim N(\mu,\sigma^2 ) とする。このとき， X の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数はそれぞれ
\color{red} \begin{aligned} E[e^{tX}]&= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) , \\ E[e^{itX}]&= \exp \left( i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) \\ \end{aligned}
である。
正規分布は，その積率母関数(モーメント母関数)・特性関数もよく使われますね。これは，以下の記事で証明しています。
正規分布の再生性
定理（正規分布の再生性）
\mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R},\; \sigma_1,\sigma_2>0 とする。 X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\; X_2\sim N(\mu_2, \sigma_2^2) を独立とすると， a_1, a_2\in \mathbb{R} に対し，
\small\color{red} a_1X_1+a_2X_2\sim N(a_1\mu_1+a_2\mu_2, a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2)
である。特に，正規分布の和や定数倍は，また正規分布になる。
同じ分布族の独立な確率変数を２つ足すと，また同じ分布族に属するとき，これを分布の再生性 (reproductive property) といいます。正規分布やポアソン分布は，再生性をもつ分布として有名です。
これの証明については，以下の記事を参照してください。
正規分布の標準化
定理（正規分布の標準化）
X\sim N(\mu, \sigma^2) とするとき，
\color{red} Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
とすると， Z\sim N(0,1) になる。
正規分布の標準化 (standardization)とは， N(\mu,\sigma^2) に従う確率変数を，変換によって N(0,1) に従うようにすることです。
これについては， X-\mu \sim N(0, \sigma^2) であることと，上の再生性の話からも分かりますが，以下の記事でも解説しています。
中心極限定理と正規分布
中心極限定理は，非常に強力で，分布の近似に使われる有名な定理です。正規分布が大切なのは，この定理のおかげと言ってもいいでしょう。主張を述べます。
定理（中心極限定理）
(X_k) を平均 \mu，分散 \sigma^2 が有限値である，独立同分布な確率変数列とする。このとき， S_n=\sum_{k=1}^n X_k とおくと，
\color{red} \frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}
は n\to\infty で標準正規分布 N(0,1) に分布収束する。すなわち， \alpha \in \mathbb{R} に対して，
となる。
ここでポイントなのは， (X_k ) は平均・分散をもつ独立同分布であれば，どんな分布でも良いということです。どんな分布であっても，その十分多くの和は正規分布で近似できるということは，かなり強力な定理と言えるでしょう。
この意味で，正規分布は最も基本的かつ強力な分布だといえます。実際，統計学においては，多くの分布を正規分布で近似します。
