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ポアソン分布の定義と例と性質まとめ

確率論

ポアソン分布とは主に,まれな事象が一定時間に起こる回数を表す確率分布で, P(X=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \,\,(k=0,1,2,\ldots) と定義されます。これについて,その定義と具体例,性質について詳しく掘り下げましょう。

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ポアソン分布の定義

まずは,ポアソン分布の定義を述べ,その確率をグラフを描いてみましょう。

定義(ポアソン分布)

X を確率変数, \lambda > 0 とする。 k=0,1,2,\ldots に対し,

\color{red} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda }


が成り立つとき, X はパラメータ \lambdaポアソン分布 (Poisson distribution) に従うという。本記事では,これを \color{red}X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とかくことにする。

まず注意ですが, e^xマクローリン展開は,\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} ですから,

\begin{aligned}P(X=0,1,2,\ldots) &= \sum_{k=0}^\infty P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= e^{\lambda} e^{-\lambda} = 1 \end{aligned}


となって, P(X=0,1,2,\ldots) = 1 となりますね。

\lambda を変えて,ポアソン分布の確率(質量)関数 P(X=k) \,(k=0,1,2,\ldots) を図示すると,以下のようになります。

ポアソン分布の確率質量関数のグラフ

見ての通り, \lambda が大きいほど,山が右に推移するんですね。

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ポアソン分布の例

ポアソン分布は,(まれに起こる)ある事象に対し,その事象が一定時間に何回発生したかを表す分布として,よく用いられます。たとえば,以下のようなものです。

  • コールセンターに1時間当たりかかってくる電話の数
  • 某交差点で1日当たりに事故が起こる回数
  • あるコンビニに1日当たりに来る客数
ポアソン分布の具体例のイラスト

なお,ポアソン分布でモデル化されるもののポイントは, 1 回その事象が発生したからと言って,次発生するかどうかに影響を与えないという点です。たとえば,コールセンターに1回電話があったからと言って,その1時間の間にもう1回電話がかかってこないとは限りません。

また,「一定時間に起こる回数(や人数)」をモデル化したものと説明しましたが,「回数(や人数)」以外をモデル化することもあります。

ポアソン分布の性質

さて,今回紹介するポアソン分布の性質を,最初に列挙することにしましょう。

ポアソン分布 \operatorname{Poisson}(\lambda)
確率 P(X=k) = \dfrac{k^\lambda}{k!}e^{-\lambda}\;\,(k=0,1,2,\ldots)
確率分布の型離散型
累積分布関数 \begin{dcases}0 & x<0, \\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \dfrac{k^\lambda}{k!}e^{-\lambda} & x\ge 0 \end{dcases}
期待値 E[X] \lambda
分散 V(X)\lambda
標準偏差 \sqrt{V(X)}\sqrt{\lambda}
積率母関数(モーメント母関数) E[e^{tX}]\exp (\lambda(e^t-1))
特性関数 E[e^{itX}]\exp(\lambda(e^{it}-1))
再生性 \begin{aligned}&X_1 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1), X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2) \\ &\implies X_1+X_2 \sim \operatorname{Poisson} (\lambda_1+\lambda_2)\end{aligned}
指数分布との関係 \sup\{k\mid Y_1 +\dots + Y_k \le 1 \}\, (Y_k \sim \operatorname{Exp}(\lambda))
二項分布との関係(ポアソンの少数の法則) \displaystyle \lim_{n\to\infty} Y_n \;(Y_n \sim B(n, p_n)\, \lim_{n\to\infty}np_n=\lambda)

累積分布関数以降について,詳しく掘り下げていきましょう。

ポアソン分布の累積分布関数(分布関数)

ポアソン分布の累積分布関数(分布関数)は,

\begin{aligned} F(x) &= P(X\le x) \\ &= \begin{dcases}0 & x<0, \\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} P(X=k) & x\ge 0 \end{dcases} \\ &=\begin{dcases}0 & x<0, \\ \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \dfrac{k^\lambda}{k!}e^{-\lambda} & x\ge 0 \end{dcases} \end{aligned}


ですね。ただし, \lfloor x \rfloor床関数(ガウス記号)を表します。

図で描くと,以下のようになります。(※ 以下は模式的なものであり,実際は,床関数(ガウス記号)のグラフのような,不連続なものです。)

ポアソン分布の累積分布関数(分布関数)のグラフ

\lambda が大きいほど,グラフが下に来るわけですね。

ポアソン分布の期待値(平均)・分散・標準偏差

定理(ポアソン分布の期待値・分散・標準偏差)

X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とする。このとき,X の期待値(平均)・分散・標準偏差はそれぞれ

\color{red}\begin{aligned} E[X] &= \lambda, \\ V(X)&= \lambda, \\ \sqrt{V(X)} &= \sqrt{\lambda} \end{aligned}


となる。

期待値も分散も,両方 \lambda になるんですね。この証明については,以下で行っています。

ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数

定理(ポアソン分布の積率母関数・特性関数)

X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とする。このとき,X の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数はそれぞれ

\color{red}\begin{aligned} E[e^{tX}] &= \exp (\lambda(e^t-1)), \\ E[e^{itX}]&= \exp(\lambda(e^{it}-1)) \end{aligned}


となる。

\exp x = e^x ですから,たとえば \exp (\lambda(e^t-1)) = e^{\lambda(e^t-1)} となります。累乗が二回出てきますから,こういうかき方はややこしいので, \exp を用いて記述しています。

これの証明については,以下で解説しています。

ポアソン分布の再生性

定理(ポアソン分布の再生性)

\lambda_1, \lambda_2> 0 とし, X_1 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1), \, X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_2) を独立とする。このとき,

\color{red} X_1 + X_2 \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)


である。

同じ分布族の独立な確率変数を2つ足すと,また同じ分布族に属するとき,これを分布の再生性 (reproductive property) といいます。ポアソン分布や正規分布は,再生性をもつ分布として有名です。

これについては,以下で証明しています。

ポアソン分布と指数分布との関係

定理(ポアソン分布と指数分布との関係)

Y_k \sim \operatorname{Exp}(\lambda) \;\; (k=1,2,3,\ldots) を独立な指数分布とし, X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とする。このとき,

\color{red} X\stackrel{\mathrm{d}}{=} \sup\{k\in\mathbb{N} \mid Y_1 + Y_2+\dots + Y_k \le 1 \}


である。ただし, \stackrel{\mathrm{d}}{=} は分布の意味で等しいことを意味する。

ポアソン分布と指数分布は,同じような事象の,見方が違うものと言えます。

例を挙げると,コールセンターにおいて「次に電話が来るまでの時間」は指数分布でモデル化され,「ある一定時間に電話が来た回数」はポアソン分布でモデル化されるといった具合です。以下がその一例です。

指数分布とポアソン分布の関係を表すイメージ

指数分布は,無記憶性をもつ唯一の連続型確率分布です。これについては,以下の記事を参照してください。

二項分布との関係~ポアソンの少数の法則~

ポアソン分布は,二項分布の極限として得ることが可能です。以下の定理を見てください。

定理(ポアソンの少数の法則)

\lambda>0 とし, X_n \sim B(n, p_n ) とする。ただし, \{p_n\} \lim_{n\to\infty}np_n = \lambda をみたす (0, 1 ) 値の数列である。

このとき, X_n はパラメータ \lambda をもつポアソン分布に分布収束する。すなわち, k=0,1,2,\dots に対し,

\color{red} \lim_{n\to\infty}P(X_n =k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.

ラフに言うと, n が十分大きく, p_n が十分小さいとき,二項分布はポアソン分布で近似できるということですね。

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