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ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数の導出証明

確率論
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ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数は,

\begin{aligned} E[e^{tX}] &= \exp (\lambda(e^t-1)), \\ E[e^{itX}]&= \exp(\lambda(e^{it}-1)) \end{aligned}


です。これについて,その導出の証明を行いましょう。

ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数

定理(ポアソン分布の積率母関数・特性関数)

X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とする。このとき,X の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数はそれぞれ

\color{red}\begin{aligned} E[e^{tX}] &= \exp (\lambda(e^t-1)), \\ E[e^{itX}]&= \exp(\lambda(e^{it}-1)) \end{aligned}


となる。

\exp x = e^x ですから,たとえば \exp (\lambda(e^t-1)) = e^{\lambda(e^t-1)} となります。累乗が二回出てきますから,こういうかき方はややこしいので, \exp を用いて記述しています。

証明に入る前に,ポアソン分布の定義を復習しておきましょう。

ポアソン分布の定義

X を確率変数, \lambda > 0 とする。 k=0,1,2,\ldots に対し,

\color{red} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda }


が成り立つとき, X はパラメータ \lambda ポアソン分布 (Poisson distribution) に従うという。本記事では,これを \color{red}X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とかくことにする。

ポアソン分布は,「まれな事象が一定期間に起こる回数」をモデル化するのによく使います。詳しくは,以下の記事を参照してください。

ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数の導出証明

早速導出していきましょう。ここで必要な知識は, e^x マクローリン展開です。

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}


これを踏まえて,証明を確認していきましょう。

ポアソン分布の積率母関数(モーメント母関数)の導出

証明

期待値とポアソン分布の定義により,

\begin{aligned}E[e^{tX}] &= \sum_{k=0}^\infty e^{tk}P(X=k)\\ &= \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} \\ &= e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} \\ &= \exp (\lambda(e^t-1)) \end{aligned}


であるから,示せた。

証明終

ポアソン分布の特性関数の導出

特性関数の導出は,積率母関数(モーメント母関数)とほぼ同様ですが,やっていきましょう。

証明

期待値とポアソン分布の定義により,

\begin{aligned}E[e^{itX}] &= \sum_{k=0}^\infty e^{itk}P(X=k)\\ &= \sum_{k=0}^\infty e^{itk} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} \\ &= e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}} \\ &= \exp (\lambda(e^{it}-1)) \end{aligned}


であるから,示せた。

証明終

無事,導出できましたね。

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