ポアソン分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明

確率論

ポアソン分布の期待値(平均)・分散・標準偏差はそれぞれ

\begin{aligned} E[X] &= \lambda, \\ V(X)&= \lambda, \\ \sqrt{V(X)} &= \sqrt{\lambda} \end{aligned}


となります。これについて,その導出証明を「定義から直接証明」「特性関数の微分を用いた証明」の2通りで行いましょう。

ポアソン分布の期待値(平均)・分散・標準偏差

まずは,もう一度結果をまとめましょう。

定理(ポアソン分布の期待値・分散・標準偏差)

X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とする。このとき,X の期待値(平均)・分散・標準偏差はそれぞれ

\color{red}\begin{aligned} E[X] &= \lambda, \\ V(X)&= \lambda, \\ \sqrt{V(X)} &= \sqrt{\lambda} \end{aligned}


となる。

期待値も分散も,両方 \lambda になるんですね。

証明に入る前に,ポアソン分布の定義を復習しておきましょう。

ポアソン分布の定義

X を確率変数, \lambda > 0 とする。 k=0,1,2,\ldots に対し,

\color{red} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda }


が成り立つとき, X はパラメータ \lambdaポアソン分布 (Poisson distribution) に従うという。本記事では,これを \color{red}X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda) とかくことにする。

ポアソン分布は,「まれな事象が一定期間に起こる回数」をモデル化するのによく使います。詳しくは,以下の記事を参照してください。

ポアソン分布の期待値(平均)の導出証明

ポアソン分布の期待値(平均)の導出証明について,

  • 定義から直接証明
  • 特性関数の微分を用いた証明

の2種類で証明しましょう。

【期待値】定義から直接証明

定義から直接証明するには, e^xマクローリン展開

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\quad x\in \mathbb{R}


を利用します。

証明

期待値とポアソン分布の定義より,

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{k=0}^\infty k P(X=k) \\ &= \sum_{k=1}^\infty k \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda } \\ &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\ &= \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda} = \lambda \end{aligned}


より,示せた。

証明終

【期待値】特性関数の微分を用いた証明

特性関数の微分を用いても,ポアソン分布の期待値を計算することが可能です。証明の前に,ポアソン分布の特性関数の結果を述べましょう。

ポアソン分布の特性関数
\color{red} E[e^{itX}]= \exp(\lambda(e^{it}-1))

これを微分する形で証明します。

証明

特性関数の式を両辺 t で微分すると,

E[iXe^{itX}] = i\lambda \exp(\lambda(e^{it}-1)+it) .


両辺 t=0 を代入すると, E[iX] = i\lambda であり,よって,

E[X] = \lambda.

証明終

なお,今回は特性関数を微分しましたが,積率母関数(モーメント母関数)を微分しても証明可能です。

ポアソン分布の分散の導出証明

ポアソン分布の分散の導出証明についても,

  • 定義から直接証明
  • 特性関数の微分を用いた証明

の2種類で証明しましょう。 V(X) =E[X^2] -E[X]^2 を用います。

【分散】定義から直接証明

証明

まずは二次モーメント E[X^2] について,ポアソン分布の定義から,

\begin{aligned}&V(X) \\ &= \sum_{k=0}^\infty k^2 P(X=k) \\ &= \sum_{k=1}^\infty k^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= \sum_{k=1}^\infty \{k(k-1)+k\} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda } \\ &= e^{-\lambda}\left\{ \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}+\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} \right\} \\ &= e^{-\lambda} \left\{ \lambda^2 \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \right\} \\ &= e^{-\lambda} (\lambda^2 e^{\lambda} + \lambda e^{\lambda} )\\ &= \lambda^2 +\lambda \end{aligned}


であるから,

\begin{aligned} V(X) &= E[X^2] - E[X]^2 \\ &= (\lambda^2 + \lambda)-\lambda^2 = \lambda. \end{aligned}

証明終

【分散】特性関数の微分を用いた証明

証明

特性関数の式 E[e^{itX}]= \exp(\lambda(e^{it}-1)) の両辺を t で2回微分すると,

\begin{aligned} & E[(iX)^2 e^{itX}] \\ &= -\lambda (\lambda e^{it}+1)\exp(\lambda(e^{it}-1)+it) . \end{aligned}


両辺 t=0 を代入すると, E[(iX)^2] = -\lambda(\lambda+1) すなわち,

E[X^2] = \lambda^2 + \lambda.


よって, V(X) = E[X^2] - E[X]^2 = (\lambda^2 + \lambda)-\lambda^2 = \lambda である。

証明終

ポアソン分布の標準偏差について

標準偏差は,分散の平方根 \sqrt{V(X)} で定義されます。上の計算より, V(X0 = \lambda でしたから,

\sqrt{V(X)} = \sqrt{\lambda}


が分かりますね。

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