関数解析学

関数解析学

リースの表現定理とその証明

リースの表現定理とは,ヒルベルト空間上の有界線形汎関数は,内積の形で書けるということを主張する定理です。リースの表現定理について,その主張と証明を紹介し,さらにその帰結として,ヒルベルト空間とその双対空間はある意味「同一視」できることを証明します。
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双対空間(共役空間)と有界線形汎関数

双対空間あるいは共役空間とは,体K上のベクトル空間から,Kへの線形写像全体のなすベクトル空間のことで,線形汎関数は双対空間の元のことを言います。双対空間を考えることで,もとのベクトル空間の性質を調べるのに役に立ちます。「双対」という言葉からわかるように,もとのベクトル空間と「対」になっていると考えることができたりするからです。双対空間(共役空間)と有界線形汎関数について,理解していきましょう。
関数解析学

パーセバルの等式とその周辺

パーセバルの等式 (Parseval's identity) とは,無限次元のピタゴラスの定理(三平方の定理)といえる定理です。パーセバルの等式について,その形とその証明を行います。また,フーリエ級数におけるパーセバルの等式はよく使われるため,最後に紹介します。
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グラムシュミットの直交化法とは~イメージを図解~

グラムシュミットの直交化法 (Gram–Schmidt process) あるいは単にシュミットの直交化法とは,与えられた基底を用いて,正規直交基底を具体的に構成する手法です。グラムシュミットの直交化法について,その手法とイメージの図解を紹介します。
関数解析学

作用素ノルムとは~定義と具体例と性質~

作用素ノルムとは,作用素同士の「距離」を定めるものです。これにより,作用素の扱える範囲が広がるわけです。作用素ノルムについて,その定義と,作用素ノルムが「ノルム」になっていることの証明,具体例や性質を紹介します。
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ヒルベルト空間における正射影・正射影作用素

ヒルベルト空間における正射影(projection)あるいは直交射影について,その定義を紹介し,関連して正規直交系が与えられた部分空間上への射影について考えましょう。
関数解析学

ベッセルの不等式とその詳しい証明

内積空間におけるベッセルの不等式 (Bessel's inequality) は,正射影したベクトルのノルムの方が,元のノルムより小さいよということを式にした定理です。ベッセルの不等式を証明しましょう。
関数解析学

線形作用素とその有界性について詳しく

線形代数学において,ベクトル空間の間の大事な写像は線形写像ですが,無限次元の線形代数ともいわれる関数解析学では,定義域が空間全体とは限らない「線形作用素」が大事になります。今回は,そんな線形作用素について定義し,さらに性質の良い「有界線形作用素」について定義と具体例を紹介していきましょう。
関数解析学

ヒルベルト空間における射影定理とその証明

ヒルベルト空間において非常に基本的な定理である射影定理 (projection theorem) について,その定理の主張と証明を行いましょう。
関数解析学

直交補空間の定義と性質9つ

関数解析学における「内積空間」において,直交補空間(orthogonal complement) とは,ある部分ベクトル空間とちょうど直交の関係になるベクトル全体の集合のことを指し,これもまたベクトル空間になります。直交補空間について,その定義と性質とその証明を紹介しましょう。
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