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ヒルベルト空間における射影定理とその証明

関数解析学
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ヒルベルト空間において非常に基本的な定理である射影定理 (projection theorem) について,その定理の主張と証明を行いましょう。

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ヒルベルト空間における射影定理

実あるいは複素ヒルベルト空間 H に対して,A\subset H凸集合 (convex set) であるとは,

\color{red}x,y\in A\implies tx+(1-t)y\in A\quad(0\le t\le 1)


を意味します(→凸集合とは何かをわかりやすく~定義と性質~)。このことを踏まえて,定理を述べましょう。

定理1 (射影定理)

Hヒルベルト空間とし, A\subset H を空でない閉凸集合とする。このとき,任意の x\in X に対して,

\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|


となる y\in A が唯一つ存在する。また, A が閉部分空間ならば, x-y\perp A である。

射影定理のイメージ図

x\in A なら,単に y=x とすればよいです。

x-y\perp A とは,\forall a\in A, \langle x-y, a\rangle =0 の意味です。

閉部分空間は明らかに閉凸集合ですから,定理1の「閉凸集合」の部分は「閉部分空間」にしても成立します。x = y+(x-y) であり,y\perp x-y ですから,さらに以下の定理が成立します。

定理2(射影定理2)

Hヒルベルト空間 L\subset H をその閉部分空間とする。また,

L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}


L直交補空間とする。このとき,任意の x\in H に対し,

\Large\color{red} x= y+z, \quad y\in L, \, z\in L^{\perp}


となる y,z が唯一つ存在する。特に,\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp} である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。

直交補空間については,以下の記事でも掘り下げています。

定理1と2はどちらも射影定理と言われます。

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射影定理の証明

さて,早速証明しましょう。

定理1(射影定理)再掲

Hヒルベルト空間とし, A\subset H を空でない閉凸集合とする。このとき,任意の x\in X に対して,

\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|


となる y\in A が唯一つ存在する。また, A が閉部分空間ならば, x-y\perp A である

  1. y の存在性について
  2. y の一意性について
  3. A が閉部分空間のとき x-y\perp A について

に分けて証明していきましょう。どれもある程度テクニカルであり,証明も大事ですが,結果を身につけることがとても大切です。

定理1の証明

1. y の存在性について

\inf_{a\in A} \|x-a\|=\alpha とおく。下限(inf)の定義より, \{y_n\}\subset A で, \lim_{n\to\infty}\|x-y_n\| =\alpha となるものが存在する。中線定理も用いることで,

\begin{aligned} &\|y_m-y_n\|^2 \\&= \|(y_m-x)-(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad-\|(y_m-x)+(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad\qquad\quad-4\left\|\frac{y_m+y_n}{2}-x\right\|^2 \\ \end{aligned}


である。 A は凸より, \frac{y_m+y_n}{2}\in A である。ゆえに \alpha の定義より, |\frac{y_m+y_n}{2}-x\| \ge \alpha である。したがって,

\begin{aligned} &\|y_m-y_n\|^2 \\ &\le 2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)-4\alpha^2 \\ &\xrightarrow{n\to\infty} 2(\alpha^2+\alpha^2)-4\alpha^2=0 \end{aligned}


となり, \{y_n\}コーシー列である。ゆえに y_n\xrightarrow{n\to\infty} y\in H が存在し, A は閉より, y\in A である。ここで,

\begin{aligned}\alpha \le \|x-y\| &\le \|x-y_n\|+\|y_n-y\| \\ &\xrightarrow{n\to\infty} \alpha +0 \end{aligned}


より, \|x-y\|=\alpha である。以上から存在性が示せた。

2. y の一意について

y_1,y_2\in A \|x-y_1\| = \|x-y_2\| = \alpha をみたすとする。中線定理より,

\hspace{-10pt}\begin{aligned}&\| (x-y_1)+(x-y_2)\|^2+\| (x-y_1)-(x-y_2)\|^2 \\&=2(\|x-y_1\|^2 +\|x-y_2\|^2) . \end{aligned}


言い換えると,

\begin{aligned}4\left\| x-\frac{y_1+y_2}{2}\right\|^2+\|y_1-y_2\|^2 =4\alpha^2. \end{aligned}


A は凸より, \frac{y_1+y_2}{2}\in A なので, \alpha の定義より, \| x-\frac{y_1+y_2}{2}\|\ge \alpha である。よって,上式は

\begin{aligned}4\alpha^2+\|y_1-y_2\|^2 \le 4\alpha^2. \end{aligned}


したがって, y_1=y_2 となって,一意性が示せた。

3. A が閉部分空間のとき x-y\perp A について

z=x-y と略記する。 a\in A とし,さらに \rho = \langle z, a\rangle とする。 \rho=0 を示せばよい。 t\in \mathbb{C} について, t\rho a\in A である。 \varphi(t)=\|z-t\rho a\| と定めると,\|x-y\| の最小性より, \varphi(0)\le \varphi(t) である。 一方で, t\in \R なら,

\|z-t\rho a\|^2= \|z\|^2-2|\rho|^2t+|\rho|^2\|a\|^2t^2


となるため, \rho=0 でなければ \varphi(0)\le \varphi(t) に矛盾する。

証明終

定理2(射影定理2)再掲

Hヒルベルト空間 L\subset H をその閉部分空間とする。また,

L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}


L直交補空間とする。このとき,任意の x\in H に対し,

\Large\color{red} x= y+z, \quad y\in L, \, z\in L^{\perp}


となる y,z が唯一つ存在する。特に,\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp} である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。

定理2の証明

存在性については,定理1より明らか。

一意性について

x=y_1+z_1=y_2+z_2,\;\; y_1,y_2\in L,\, z_1,z_2\in L^\perp とする。このとき, y_1-y_2=z_2-z_1 \in L\cap L^\perp = \{0\} であるから, y_1=y_2,\, z_1=z_2 となり,一意である。

証明終

一意性の証明は,ベクトル空間の和・直和の定義とその次元の等式の証明での証明と同じで,一般のベクトル空間でも成立します。

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