上限,下限(sup,inf)の定義と最大,最小(max,min)との違い

微分積分学(大学)

上限(sup)・下限(inf)の定義を述べ,それが最小上界・最大下界になることの証明と,最大値(max)・最小値(min)との違いを考えます。

上限,下限(sup,inf)の定義

まずは実数の部分集合における上限・下限を定義を紹介し,さらにそれと同値な定義(最小上界・最大下界になることの証明)も紹介します。

上限,下限(sup,inf)の定義

定義(上限・下限)

A \subset \mathbb{R} を空でないとする。

\alpha \in \mathbb{R} A上限 (supremum) であるとは,

  1. x \in A \implies x \le \alpha,
  2. 任意の \varepsilon > 0 に対し,ある x \in A が存在して, \alpha - \varepsilon \le x \le \alpha

の両方が成立することを指す。このとき, \color{red} \sup A = \alpha とかく。
A が上に有界でないときは \color{red} \sup A = \infty と定義し,逆に多くの場合,慣習により \color{red} \sup \varnothing = - \infty と定める。

\beta \in \mathbb{R} A下限 (infimum) であるとは,

  1. x \in A \implies \beta \le x,
  2. 任意の \varepsilon > 0 に対し,ある x \in A が存在して, \beta \le x \le \beta + \varepsilon

の両方が成立することを指す。このとき, \color{red} \inf A = \beta とかく。
A が下に有界でないときは \color{red} \inf A = -\infty と定義し,逆に多くの場合,慣習により \color{red} \inf \varnothing = \infty と定める。

上限・下限の図形的イメージ

1.の式 x \in A \implies x \le \alpha, \,\, x \in A \implies \beta \le x は,\alpha, \beta がそれぞれ上界・下界になると言っています。さらに,2.の式より, \alpha, \beta はそれぞれ最小上界・最大下界,すなわち上界全体の集合の最小値・下界全体の集合の最大値になっていることが分かります。

よってこれを定義にしてもよいです。詳しく述べましょう。

上界,下界を用いた上限,下限(sup,inf)の同値な定義

定理(上限・下限の同値な定義)

A \in \mathbb{R} を空でない有界集合とする。

このとき, A上限・下限はそれぞれ最小上界・最大下界と一致する。

なお,実数の部分集合でない一般の半順序集合 (X, \le) における上限・下限は,これを定義とします。もちろん,実数のときもこれを定義として差し支えないです。

上限・下限の証明は同様なので,上限の方のみ証明しましょう。

証明

上限 \implies 最小上界について

上限を \alpha = \sup A とする。上限の定義1.の x \in A \implies x \le \alpha により, \alpha は上界である。
\alpha が最小上界でないとすると, \alpha' < \alpha となる上界 \alpha' が存在するが,これは定義2.に反する。

最小上界 \implies 上限について

上界全体の集合の最小値はただ一つであることと,(次項で解説している通り)上限が必ず存在することにより,これが成り立たねばならない。
なぜならば,最小上界であって上限でないものがあるとすると,別に上限がある。しかしこの上限は前半の証明から,最小上界である。最小上界は一つしかないから,これはおかしい。

証明終

実数の部分集合における上限・下限は必ず存在する

次は実数の連続性にまつわる公理です。

公理( \sup,\inf の存在)

  • 実数の上に有界な部分集合は必ず(有限な)上限を持つ
  • 実数の下に有界な部分集合は必ず(有限な)下限を持つ

今回は公理としましたが,実数の四則演算・大小関係とデデキント切断 (Dedekind cut) による実数の構成を採用すると,これは定理として証明できます。今回は詳しく述べません。

上限,下限(sup,inf)と最大,最小(max,min)との違い

ここで, \sup \{ f(x) \mid x \in A \} \sup_{x\in A } f(x) とも書かれることに注意しましょう。このことを踏まえて両者の違い,特にここでは \sup \max の違いをを確認していきます。

まずは両者の定義を述べましょう。

supの定義

\alpha = \sup A であるとは,
任意の \varepsilon > 0 に対し,ある x \in A が存在して, \alpha - \varepsilon \le x \le \alpha かつ任意の x \in A に対して x \le \alpha
が成立することである。

maxの定義

\alpha = \max A であるとは,
\alpha \in A かつ任意の x \in A に対して x \le \alpha
が成立することである。

\max \sup の最も大きな違いは, \alpha \in A か否かです。最大値は \alpha \in A でなければなりませんが, \sup はその必要はありません。
これが影響して, \sup は必ず存在しますが, \max は存在しなくても構いません。

具体例を挙げましょう。

上限(sup)と最大(max)の違いの具体例

関数最大値上限
f(x) = -x^2 \\(x\in \mathbb{R})y=-x^2のグラフ0 0
f(x) = x^2 \\ (-1 \le x\le 1)y=x^2 (-1<=x<=1)のグラフ11
f(x) = x^2\\(-1 < x < 1)y=x^2 (-1<x<1)のグラフなし1
f(x) = x^2 \\(x\in \mathbb{R})y=x^2のグラフなし \infty
f(x) = -1/x \\(x>0)y=-1/x (-1<x<1) のグラフなし0

下限(inf)と最小値(min)の違いも同様です。なんとなく違いが分かれば幸いです。

最大値・最小値が存在するとき上限・下限はそれに一致する

上の例において,最大値があるときは,上限も同じ値になっていることが分かるでしょう。この点で「上限は最大値の拡張概念」と思うこともできます。実際,以下が成立します。

定理

A \subset \mathbb{R} に対し, \max A が存在するとき, \color{red} \sup A = \max A である。同様に \min A が存在するとき, \color{red} \inf A = \min A である。

上極限・下極限(limsup,liminf)

上限・下限と極限を組み合わせたもので,上極限・下極限というものがあります。これについては,以下で解説しています。

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