上界・下界とは～定義と具体例～

実数の部分集合における上界・下界についてその定義と具体例を紹介します。

上界・下界・上に有界・下に有界の定義

定義（上界・下界・上に有界・下に有界）

$A \subset \mathbb{R}$ を空でないとする。

$K \in \mathbb{R}$ が $A$ の(一つの)上界 (upper bound) であるとは， $\color{red} x \in A \implies x \le K$ が成立することであり，

$L \in \mathbb{R}$ が $A$ の(一つの)下界 (かかい; lower bound) であるとは， $\color{red} x \in A \implies L \le x$ が成立することである。

上界が存在するとき， $A$ は上に有界であるといい，下界が存在するするとき， $A$ は下に有界であるという。

図で描くと次のような感じです。

なお，今は実数 $\mathbb{R}$ の部分集合を考えましたが，順序 $\le$ が定義された集合(半順序集合)であれば何でも構いません。

$A$ が上に有界かつ下に有界のとき， $A$ は有界 (bounded) であるといいます。これについては，以下でも詳しく解説しています。

上界・下界の取り方は複数あり得ることに注意しましょう。実際，定義より直ちに次が成立します。

命題

$K \in \mathbb{R}$ が $A \subset \mathbb{R}$ の上界のとき， $k \ge K$ となる任意の実数 $k$ もまた $A$ の上界である。

同様に， $L \in \mathbb{R}$ が $A \subset \mathbb{R}$ の下界のとき， $l \le L$ となる任意の実数 $l$ もまた $A$ の下界である。

簡単かつ重要な具体例を挙げましょう。

上界・下界の具体例

$[0, 3]$ において， $3, 5, 2\pi$ は全て上界であり， $0, -3, -11/3$ は全て下界である。
$(0, 3)$ において， $3, 5, 2\pi$ は全て上界であり， $0, -3, -11/3$ は全て下界である。
$(0, \infty)$ の上界は存在しない。よって上に有界でない。
$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Q}$ には上界・下界が存在しない。よって上にも下にも有界でない。
$A$ において最大値 $M$ ，最小値 $m$ が存在するとき， $M, m$ はそれぞれ上界・下界である。特にそれぞれ上界のうち最小なもの，下界のうち最大のものになっている。