上極限,下極限(limsup,liminf)の定義と例と性質2つ

微分積分学(大学)

上極限・下極限の定義をし,その具体例と重要な性質2つを確認・証明していきましょう。

数列における上極限,下極限(limsup,liminf)の定義

定義(上極限・下極限;数列版)

\{a_n\} を実数列とする。このとき,

\color{red} \limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left( \sup_{k\ge n}a_k\right)


上極限(limit superior) といい,

\color{red} \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left( \inf_{k \ge n} a_k \right)


下極限 (limit inferior) という。

\limsup_{n\to\infty} a_n , \liminf_{n\to\infty} a_n はそれぞれ \varlimsup_{n\to\infty} a_n, \varliminf_{n\to\infty} a_n とかくこともある。

ここで,数列 \left\{ \sup_{k\ge n}a_k\right\}_n , \left\{ \inf_{k \ge n} a_k \right\}_n はそれぞれ単調減少・単調増加ですから,上極限・下極限は \pm\infty も含めると必ず存在することに注意しましょう(→上に有界な単調増加数列は収束することの証明)。極限とは違う性質ですね。

また, \sup_{k\ge n}a_n \ge \inf_{k \ge n} a_n であることと,極限の大小関係が一致することから,

\limsup_{n\to\infty} a_n \ge \liminf_{n\to\infty} a_n


も成り立ちます(→極限の性質6つの証明(一意姓,和,積,商,大小関係))。

上極限,下極限(limsup,liminf)の具体例

具体例を挙げましょう。

例1.

\color{red} a_n = (-1)^n と定めると,

\limsup_{n\to\infty} a_n = 1, \quad \liminf_{n\to\infty} a_n = -1


である。

実際, \displaystyle \sup_{k\ge n} a_k= 1, \, \inf_{k\ge n} a_k = -1 なので明らかですね。

例2.

\color{red} a_n = (-1)^n /n と定めると,

\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n = 0


である。

実際,

\begin{aligned} \sup_{k\ge n} a_k&= \frac{1}{2[n/2]} \xrightarrow{n\to\infty} 0, \\ \inf_{k\ge n} a_k &=- \frac{1}{2[(n+1)/2]-1}\xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{aligned}


(ただし[\cdot]床関数(ガウス記号))なので,成立します。

例3.

\color{red} a_n = n と定めると,

\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n = \infty


である。

実際,

\begin{aligned} \sup_{k\ge n} a_k= \infty, \quad \inf_{k\ge n} a_k =n \xrightarrow{n\to\infty} \infty \end{aligned}


のため,成立します。

なんとなくイメージが湧いたでしょうか。図で描くと以下のようなイメージです。

limsup, liminf のイメージ

上極限,下極限(limsup,liminf)の性質

上極限・下極限の性質のうち,以下の2つ

  • 上極限・下極限に収束する部分列の存在
  • 上極限・下極限が一致 ⇒ 極限の存在

を順に確認していきましょう。

上極限,下極限に収束する部分列の存在

定理(上極限・下極限に収束する部分列の存在)

\{a_n\} を実数列とし, \limsup_{n\to\infty} a_n = \alpha, \liminf_{n\to\infty} a_n = \beta と定める。

このとき,ある部分列 \{ a_{\varphi_1(n)}\}, \{a_{\varphi_2(n)}\} が存在して,

\color{red} \lim_{n\to\infty} a_{\varphi_1(n)} = \alpha, \quad \lim_{n\to\infty} a_{\varphi_2(n)} = \beta


とできる。

証明

証明では \limsup の方の \alpha が有限のときのみ示すことにします。その他もほぼ同様だからです。

証明

\varphi_1(1) = 1 と定め \varphi_1(n-1) まで定まったとして, \varphi_1(n) を帰納的に定めよう。
極限の定義により,ある N_n \ge 1 が存在して,

N \ge N_n \implies\left| \sup_{k \ge N} a_k - \alpha \right| < \frac{1}{n}


とできる。とくに, {N'}_n = \max\{ N_n, \varphi(n-1) \} と定めると,

\left| \sup_{k \ge {N'}_n} a_k - \alpha \right| < \frac{1}{n} である。

上限(sup)の定義により,ある K_n \ge {N'}_n が存在して,

0 \le \sup_{k \ge {N'}_n} a_k - a_{K_n} \le \frac{1}{n}


とできる。 \varphi_1(n) = K_n と定めよう。すると,

\begin{aligned} &|a_{\varphi_1(n)} - \alpha | \\ &= |a_{K_n }- \alpha | \\ &\le \left|a_{K_n} - \sup_{k \ge {N'}_n} a_k \right| + \left|\sup_{k \ge {N'}_n} a_k - \alpha \right| \\ &\le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}. \end{aligned}


よって \lim_{n\to\infty} a_{\varphi(n)} = \alpha が成立する。

証明終

上極限,下極限が一致 ⇒ 極限の存在

定理(上極限・下極限が一致 ⇒ 極限の存在)

\{a_n\} を実数列とする。

\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n = \alpha \in [-\infty, \infty]


が成立するとき,

\color{red} \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha


である。

なおこのことから,数列の収束・発散は上極限・下極限を用いることで,以下の3つに分類されます。

極限の分類
  • \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n かつ有限値のとき \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n収束する
  • \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty} a_n =\pm\infty のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \pm \infty に発散する
  • \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n \ne \liminf_{n\to\infty} a_n のとき \{a_n\}振動する(発散する)

定理の証明をしましょう。

証明

証明では \alpha が有限値のときのみ扱います。

証明

\varepsilon > 0 とする。このとき,ある N \ge 1 が存在して,

\begin{aligned} n \ge N &\implies \left|\sup_{k\ge n}a_k - \alpha \right| < \varepsilon, \\ n \ge N &\implies \left|\inf_{k\ge n}a_k - \alpha \right| < \varepsilon \end{aligned}


とできる。 \displaystyle \inf_{k\ge n}a_k \le a_n \le \sup_{k\ge n}a_k であることに注意すると, n \ge N ならば

\alpha - \varepsilon \le \inf_{k\ge n}a_k\le a_n \le \sup_{k\ge n}a_k \le \alpha + \varepsilon


となる。すなわち, \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha である。

証明終

なお,はさみうちの原理を認めると,

\inf_{k\ge n} a_k \le a_n \le \sup_{k\ge n} a_k


の各辺 n\to\infty とすることでも証明可能ですね。

上極限集合・下極限集合

集合列に対しても上極限・下極限が定義できます。

定義(上極限集合・下極限集合・極限集合)

集合列 \{A_n\} に対し,

\color{red}\begin{gathered} \limsup_{n\to\infty} A_n =\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k, \\ \liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k \end{gathered}


をそれぞれ上極限集合 (limit superior set)下極限集合 (limit inferior set) という。

また,この両者が一致するとき,それを \color{red} \lim_{n\to\infty} A_n とかき,これを極限集合 (limit set) という。

集合列の場合であっても,数列と同じような性質が成立します。これについて詳しくは以下の記事で解説しています。

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