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ユークリッド空間・距離空間の開集合・閉集合とその例・性質

集合と位相
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ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合とは,ものすごく崩して言うと, \R における開区間・閉区間をより一般の集合で考えたようなものです。開集合・閉集合について定義し,その例を紹介します。

ユークリッド空間における開集合・閉集合

定義の仕方はいろいろありますが,個人的に一番イメージしやすいものを採用し,その後に詳細に掘り下げて別の定義も紹介する流れにします。

n 次元ユークリッド空間 \R^n に対し,2点 x=(x_1, \ldots, x_n), \, y = (y_1, \ldots , y_n)\in \R^n の距離は

\textcolor{red}{\large d(x, y)}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}


です。 \varepsilon >0 に対し,点 a\in \R^n における \varepsilon-近傍を

\textcolor{red}{\large B_\varepsilon(a)}=\{ x\in \R^n \mid d(a, x)<\varepsilon\}

とします。すなわち,a\in \R^n と距離が \varepsilon 未満の点の集合です。

ε-近傍のイメージ

ユークリッド空間における開集合

まずは開集合を定義しましょう。

定義1(ユークリッド空間の開集合)

\R^n の部分集合 A\subset \R^n について,次の条件をみたすとき, A開集合 (open set) という。

任意の x\in A に対し,ある \varepsilon>0 が存在して, B_\varepsilon (x)\subset A となる。

ただし,空集合 \emptyset も開集合と考える。

開集合のイメージ

A 内のどんな点を取っても,その点の周りに A に入る円板が描けるような集合 A を開集合というわけです。具体例をみてイメージを膨らませましょう。

ユークリッド空間における開集合の例

開集合の例1(\R における区間)

開区間 (0,1)\subset \R は開集合である。一方で, [0,1), (0,1], [0,1]\subset \R は開集合でない。

他に, (-\infty, 0), (0,\infty), (-\infty, \infty)=\R は開集合であるが, (-\infty, 0], [0,\infty), \{x\}\subset \R は開集合でない。

(0,1) だけでなく,より一般の (a,b) でも同じです。

任意の a\in (0,1) に対し, 0<\varepsilon < \min\{ a, 1-a\} となる \varepsilon をとると,

(a-\varepsilon , a+\varepsilon )\subset (0,1)


とでき, \R において左辺は B_\varepsilon(a) のことを指すので,開集合です。一方で, [0,1) における点 0 については, (-\varepsilon , \varepsilon )\subset [0,1) となる \varepsilon >0 は存在しないため,開集合ではありません。 (0,1],[0,1] も同様に開集合ではありません。

(0,1)は開集合なのに[0,1)は開集合でない解説図

1点集合 \{x\} についても, (x-\varepsilon , x+\varepsilon )\subset \{x\} となる \varepsilon >0 は存在しませんので,開集合ではありません。一方で,全体集合 \R は,任意の a\in \R に対して,(a-1, a+1)\subset \R とできますから,開集合です。

開集合の例2(\Rにおける他の集合)

\R において, (0,1)\cup (2,3) (-\infty, 0)\cup (0,\infty) は開集合である。

また,整数全体の集合 \mathbb{Z} や有理数全体の集合 \mathbb{Q} は開集合でない。

(0,1)\cup (2,3) のように,開区間を組み合わせたものも開集合です。

一方, q\in \mathbb{Q} に対し, (q-\varepsilon,q+\varepsilon)\subset \mathbb{Q} をみたす \varepsilon >0 は存在しませんから,\mathbb{Q} は 開集合ではありません。\mathbb{Z} も同じです。

開集合の例3(\R^2

\R^2 において,

A= \{(x, y)\in \R^2 \mid y>x^2\}


は開集合である。

集合Aのイメージ図

ユークリッド空間における閉集合

つづいて,閉集合について考えます。

定義2(ユークリッド空間における閉集合)

\R^n の部分集合 A\subset \R^n について,次の条件をみたすとき A閉集合 (closed set) という。

任意の収束する点列 \{x_n\} \subset A に対し, \lim_{n\to\infty}x_n\in A となる。

ただし,空集合 \emptyset も閉集合と考える。

A における点列が収束すれば,その収束先も A 内にあるということですね。一番イメージしやすい定義であると思いますが,その他の定義方法もあるので,後で紹介しましょう。

ユークリッド空間における閉集合の例

閉集合の例1(\R

閉区間 [0,1]\subset \R は閉集合である。一方で, (0,1),[0,1), (0,1]\subset \R は閉集合でない。

他に, (-\infty, 0], [0,\infty), (-\infty, \infty)=\R, \{x\}\subset \R は閉集合であるが, (-\infty, 0), (0,\infty) は開集合でない。

[0,1] だけでなく,より一般の [a,b] でも同じです。

\{x_n\} \subset [0,1] x\in \R に収束するとすると, x\in [0,1] です。よって, [0,1] は閉集合です。

一方で, \{x_n\} \subset (0,1) x\in \R に収束するとしても, x\in (0,1) とは限りません。たとえば, x_n =1/n とすると, x=0 ですね。よって, (0,1) は閉集合ではありません。

また, \R の収束列は,実数値に収束するため, \R は閉集合であり,1点集合 \{x\} 上の点列は x,x,x,\ldots しかなく,これは x に収束するため, \{x\} は閉集合です。

閉集合の例2(\Rにおける他の集合)

\R において, [0,1]\cup [2,3] や整数全体の集合 \mathbb{Z} は閉集合である。

一方で有理数全体の集合 \mathbb{Q} は閉集合でない。

[0,1]\cup [2,3] のように,閉区間の和集合も閉集合です。また, \mathbb{Z} における数列が収束するには,最終的にずっと同じ整数になっていないといけないため,その整数が収束値であり, \mathbb{Z} は閉集合だと分かります。

一方で,有理数列は,収束しても必ずしも収束先が有理数になるといえませんから,\mathbb{Q} は閉集合ではありません。

閉集合の例3(\R^2

\R^2 において,

A= \{(x, y)\in \R^2 \mid y\ge x^2\}


は開集合である。また,

B= \{(x, y) \in \R^2 \mid y= x^2\}


も閉集合である。

集合A, Bのイメージ図

ここで,注意を述べておきます。

開集合・閉集合の例を両方見てきましたが,開集合と閉集合は,片方が成り立てばもう片方は成り立たないというわけではありません。集合によっては開集合かつ閉集合であるものもあれば,開集合でも閉集合でもないものもあります。

たとえば \R について, \R 自身は開集合かつ閉集合です。一方 \mathbb{Q} は開集合でも閉集合でもありません。

ユークリッド空間の内部(開核)・境界・外部と開集合・閉集合

ユークリッド空間の内部(開核)・境界・外部と,開集合・閉集合の関係について述べましょう。

まず,集合における内部(開核)・境界・外部について,定義を紹介しましょう。詳しくは,内部(開核)・外部・境界について詳しく図解~距離空間・位相空間~で解説しています。

定義(内部(開核)・境界・外部)

A\subset \R^n とする。

  1. a\in \R^n とする。ある \varepsilon >0 が存在して,
    \color{red}B_\varepsilon(a)\subset A
    とできるとき,a A内点 (interior point) という。 A の内点全体の集合を A内部 (interior) または開核といい, A^\circ または A^i または \color{red} \operatorname{Int}(A) とかく。
  2. A^c の内点を A外点 (exterior point) という。 A の外点全体の集合(すなわち A^c の内部)を A外部 (exterior point) といい,A^e または \color{red} \operatorname{Ext}(A) とかく。外点は,ある \varepsilon>0 が存在して,
    \color{red}B_\varepsilon(a)\cap A=\emptyset
    とできる点 a\in \R^n,と定義してもよい。
  3. A の内点でも外点でもない集合を A境界点 (boundary point) という。 A の境界点全体の集合を境界 (frontier, boundary) といい, A^f または \color{red} \partial A とかく。境界点は,任意の \varepsilon >0 に対し,
    \color{red}B_\varepsilon(a)\cap A\ne \emptyset\,\text{ and }\, B_\varepsilon(a)\cap A^c\ne \emptyset
    となる点 a\in \R^n,と定義してもよい。

以下の図がイメージしやすいでしょう。

内点・境界点・外点のイメージ

詳しくは,以下で解説しています。

内部(開核)・境界・外部を知っていると,開集合・閉集合は以下のように定義してもかまいません。

定義3(開集合・閉集合の内部(開核)・境界・外部を用いた定義)

\R^n の部分集合 A\subset \R^n について,

  1. \large\color{red}A= \operatorname{Int}(A) をみたすとき, A開集合 (open set) という。
  2. \large \color{red}A = \operatorname{Int}(A)\cup \partial A をみたすとき, A閉集合 (closed set) という。これは,「任意の \varepsilon >0 に対し,
    \large B_\varepsilon (a)\cap A\ne \emptyset
    となる点 a\in \R^n 全体が A に一致する集合 A」を閉集合と言っても同じである。

定義1,2との同値性を軽く確認しておきましょう。

定義1, 2と3の同値性の証明

開集合については,定義を少し言い換えたに過ぎないから明らか。

閉集合について示す。 A\subset \R^n が定義3.2の意味で閉集合であるとする。 \{ a_n\}\subset A を任意の収束列とする。収束先を a\in \R^n とすると,任意の \varepsilon >0 に対し,ある N\ge 1 が存在して,

n\ge N \implies d(a_n, a)<2\varepsilon


とできる。これにより, a_n\in B_\varepsilon (a) \cap A\; (n\ge N) となるため, B_\varepsilon (a) \cap A\ne\emptyset である。 A は定義3.2の意味で閉集合なので, a\in A でなければならず,これにより, A は定義2の意味で閉集合である。

逆に, A\subset \R^n が定義2の意味で閉集合であるとする。 a\in \R^n が任意の \varepsilon >0 B_\varepsilon (a)\cap A\ne \emptyset をみたすとする。各 n\ge 1 に対し, a_n \in B_{1/n} (a)\cap A となる点を取り,数列 \{a_n\} を構成すると, a_n \xrightarrow{n\to\infty} a である。定義2より, a\in A である。ゆえ, A は定義3.2もみたしている。

証明終

距離空間における開集合・閉集合

距離空間における開集合・閉集合の定義は,ユークリッド空間におけるものと全く同じと考えて問題ないです。

以下で, (X, d)距離空間とします。 \varepsilon >0 に対し,点 x\in X における \varepsilon-近傍を

\textcolor{red}{\large B_\varepsilon(a)}=\{ x\in \R^n \mid d(a, x)<\varepsilon\}


とすると,定義は全く同じです。

定義4(距離空間における開集合・閉集合)

(X, d)距離空間とし, A\subset X とする。

  1. 任意の x\in A に対し,ある \varepsilon>0 が存在して, B_\varepsilon (x)\subset A となるとき, A開集合 (open set) という。ただし,\emptyset も開集合と考える。
  2. 任意の収束する点列 \{x_n\} \subset A に対し, \lim_{n\to\infty}x_n\in A となるとき, A閉集合 (closed set) という。ただし,\emptyset も閉集合と考える。

集合の内部(開核)・境界・外部を使って,別の定義ができることもユークリッド空間のときと同じなので省略します。

距離空間における開集合・閉集合の例

(X, d)離散距離空間とする。すなわち,

d(x,y)=\begin{cases} 0 & x=y, \\ 1 & x \ne y\end{cases}


とする。このとき,すべての部分集合が開集合かつ閉集合である。

A\subset X とすると,a\in A に対し,

\{a\} = B_{1/2}(a)\subset A


ですから, A は開集合です。また, A の点列が収束するなら,いずれは a,a,a,a,\ldots となるはずで, a\in A なので閉集合です。

ユークリッド空間・距離空間における開集合・閉集合の性質

開集合・閉集合における大事な性質を紹介し,証明しておきましょう。

1. 開集合・閉集合の補集合

定理1(開集合・閉集合の補集合)

開集合の補集合は必ず閉集合である。逆に,閉集合の補集合は必ず開集合である。

証明

(X, d) を距離空間とし, A\subset X を開集合とすると,内部(開核)・外部・境界について詳しく図解~距離空間・位相空間~より, X は3つの非交和

X=\operatorname{Int}(A)\cup \partial A \cup \operatorname{Ext}(A)


と分解できる。 A は開集合なので, \operatorname{Int}(A)=A であり,

\begin{aligned} A^c&= \partial A \cup \operatorname{Ext}(A) \\ &=\partial A^c \cup \operatorname{Int}(A^c) \end{aligned}


となるから, A^c は閉集合である。ただし,上式の最後の等号は内部(開核)・外部・境界について詳しく図解~距離空間・位相空間~にかいてある。

証明終

2. 開集合系のみたす性質

定理2(開集合系)

(X, d)距離空間とし, \mathcal{O}\subset 2^X ( 2^Xべき集合)を X における開集合全体の集合とする。このとき,以下が成立する。

  1. \emptyset\in \mathcal{O},\, X\in \mathcal{O}.
  2. O_1, O_2, \ldots, O_n \in \mathcal{O} のとき, \bigcap_{k=1}^n O_k \in \mathcal{O}.
  3. \{O_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda} \subset \mathcal{O} とするとき, \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda \in\mathcal{O}.

2.は有限個の共通部分,3.は無限個,もっと言えば非可算無限個でも構いません。

「急に何だ」と思ったかもしれませんが,実は位相空間の定義をするにあたって,この3つの性質は非常に重要です。この3つの性質に着目して位相空間の定義に一般化されるからです。証明しておきましょう。

証明

1.について

\emptyset\in \mathcal{O} は定義より直ちにわかる。 X\in \mathcal{O} については,任意の x\in X に対し, B_1(x)\subset X よりわかる。

2.について

x\in O_1\cap O_2\cap \cdots\cap O_n とする。 1\le k\le n に対し, x\in O_k より, \varepsilon_k >0 が存在して, B_{\varepsilon_k} (x)\subset O_k とできる。

\varepsilon =\min\{ \varepsilon_1,\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n\}


とすると,すべての 1\le k\le n B_{\varepsilon} (x)\subset O_k となるから,

B_{\varepsilon} (x)\subset O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n


となる。したがって,O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n\in \mathcal{O} である。

3.について

x\in \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda とすると,ある \lambda\in \Lambda が存在して, x\in O_\lambda となる。 O_\lambda\in\mathcal{O} なので,ある \varepsilon >0 が存在して,

B_\varepsilon (x)\subset O_\lambda\subset \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda


となるから, \bigcup_{\lambda\in \Lambda} O_\lambda\in \mathcal{O} である。

証明終

注意ですが,2.を無限個にすることはできません。たとえば, \R^n において,各 n\ge 1B_{1/n}(a) は開集合ですが, \bigcap_{n=1}^\infty B_{1/n}(a) =\{a\} であり,1点集合 \{a\} は開集合ではありません。

より一般の位相空間における開集合・閉集合

上の定理2を一般化したものが,位相空間です。位相空間についても,開集合・閉集合の概念がありますが,定理2で開集合を定義し,定理1で閉集合を定義することが最もメジャーです。位相空間における開集合・閉集合は以下で解説しています。

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