PR

上に有界な単調増加数列は収束することの証明

微分積分学(大学)

「上に有界な単調増加数列」あるいは「下に有界な単調減少数列」は収束するという定理は,高校数学で証明なしに用いた定理の1つでしょう。これは,実数の連続性数列の極限を厳密に定義する \varepsilon \text{-} N 論法を用いて証明されます。これについて紹介しましょう。

数列の極限の定義については,次の記事を参照してください → イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に~数列の極限の定義~

スポンサーリンク

定理の主張~有界な単調増加列の収束~

定理(上に有界な単調増加数列は収束する)

実数の数列 \{a_n\} は(広義)単調増加(すなわち \color{red} a_n \le a_{n+1})とし,かつ上に有界(すなわち \color{red} a_n < K) とする。
このとき,この数列は収束する。

なお, \{-a_n\} を考えることで,下に有界な単調減少数列が収束することもわかります。

早速証明しましょう。

スポンサーリンク

証明

上に有界かつ単調増加な数列は収束することのイメージ

証明

上に有界なので,\alpha = \sup\{a_n \mid n \ge 1\} <\infty と定める。

\sup の定義より,任意の \varepsilon > 0 に対して,ある N \ge 1 が存在して,

a_N > \alpha-\varepsilon


が成り立つ(→上限,下限(sup,inf)の定義と最大,最小(max,min)との違い)。式変形して, 0\le \alpha- a_N < \varepsilon となる。
\{a_n \} は単調増加であったから,

n \ge N \implies 0 \le \alpha- a_n < \varepsilon


である。これは, \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha を意味する。

証明終

最初の, \sup の存在は実数の連続性により保証されますから,実数の連続性が深く関係していることが分かります(→デデキント切断による実数の構成を解説)。

最後は,数列の極限の定義を使っています。これについては以下の記事で詳細に解説していますから,参照してください。

「収束の基本的なこと」に関する他の話題