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閉区間上各点収束列が同程度連続ならば一様収束することの証明

微分積分学(大学)

関数列が各点収束するとき,同程度連続であれば,それが一様収束であるという定理を紹介し,証明します。

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定理~各点収束+同程度連続 = 一様収束~

定理

\{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} \} を同程度連続な関数列とし, f \colon [0, 1] \to \mathbb{R} に各点収束するとする。
このとき,この収束は一様収束である。

定理の証明の前に,同程度連続の定義を復習しておきましょう。

定義(同程度連続性)

関数列 \{f_n\}同程度連続(同等連続, equi-continuous)であるとは,任意の \varepsilon >0 に対し,ある \delta > 0 が存在して,任意の n に対して
|x-y| < \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(y) | < \varepsilon
が成立することである。

連続は連続でも,n によらずに「均一に」連続であることを同程度連続というんですね。

なお,「同程度連続性」についてはこの定理よりも,アスコリ-アルツェラの定理 (Ascoli-Arzelà theorem) が有名です。今回の定理はこれのと言ってもよいでしょう。アスコリ-アルツェラの定理は,以下の記事を参照してください。

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証明

早速証明に入りましょう。

証明

\varepsilon > 0 とする。同程度連続性より,ある \delta > 0 が存在して,

\begin{aligned} &|x-y| < \delta \\ &\Longrightarrow |f_n(x) - f_n(y)| \le \varepsilon, \,\, (n\ge 1) \end{aligned}

が成立する。特に,この式で n \to \infty とすることで,

\begin{aligned} & |x-y| < \delta \\ &\Longrightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon, \,\, (n\ge 1) \end{aligned}

ここで, 0 = x_1 < x_2 < x_3 < \cdots < x_m = 1 |x_j - x_{j+1} | < \delta\,\,(1\le j \le m-1) をみたすように取る。
各点収束することから,ある N \ge 1 が存在して,

\begin{aligned} &n \ge N \\ &\Longrightarrow |f_n(x_j) - f_n(x_j)| \le \varepsilon, \, (1\le j \le m-1) \\ \end{aligned}

とできる。

任意の x \in [0, 1] を固定する。このとき, x_1, x_2, \ldots, x_m から x に一番近い点 x_j を固定することで, n\ge N のとき

\begin{aligned} &|f_n(x) - f(x)| \\ &\le |f_n(x) - f_n(x_j)| \\ &+ |f_n(x_j) - f(x_j)| \\ &+ |f(x_j) - f(x)| \\ &\le \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon \end{aligned}

よって,一様収束する。

証明終

類似の定理

各点収束から一様収束が従う定理としては,ディニの定理 (Dini’s theorem)が有名です。これについては,以下を参照してください。