双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義と性質22個まとめ

微分積分学(大学)

双曲線関数 \sinh, \cosh, \tanh の定義とグラフについて解説し,さらにその性質を三角関数 \sin, \cos, \tan と比較しながらまとめます。

双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の定義とグラフ

まずは sinh, cosh, tanh の定義を確認し,グラフを描きましょう。

双曲線関数の定義

定義(双曲線関数)

x\in \mathbb{R} に対し,

\color{red} \begin{aligned} \sinh x &= \frac{e^{x} - e^{-x} }{2}, \\ \cosh x &= \frac{e^{x} + e^{-x}}{2},\\ \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{ e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \end{aligned}


双曲線関数 (hyperbolic function)という。

\sinh, \cosh, \tanh はそれぞれハイパボリックサイン,ハイパボリックコサイン,ハイパボリックタンジェントと読みます。

双曲線関数のグラフ

それぞれのグラフを確認していきましょう。

sinh のグラフ

y=sinh x のグラフ

cosh のグラフ

y=cosh x のグラフ

tanh のグラフ

y=tanh x のグラフ

sinh, cosh, tanh のグラフをまとめて

y= sinh x, cosh x, tanh x のグラフ

双曲線関数の性質

双曲線関数は三角関数と似たような性質がたくさんあります。これについて,「基本的な性質」「微分」「積分」「テイラー展開」にわけて確認していきましょう。

基本的な性質

まずは基本的な性質を確認しましょう。

定理(双曲線関数の基本的な性質)

  1. \sinh (-x) = - \sinh x. (奇関数)
  2. \cosh (-x) = \cosh x. (偶関数)
  3. \tanh (-x) = -\tanh x . (奇関数)
  4. \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
  5. \displaystyle 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.
  6. e^x = \cosh x + \sinh x.
  7. \sinh(\alpha \pm \beta) = \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh\alpha \sinh \beta . ( \sinh の加法定理)
  8. \cosh(\alpha\pm \beta) = \cosh\alpha\cosh\beta \pm \sinh\alpha\cosh\beta.( \cosh の加法定理)
  9. \displaystyle \tanh(\alpha\pm\beta) = \frac{\tanh\alpha \pm \tanh\beta}{1\pm \tanh \alpha \tanh \beta}. ( \tanh の加法定理)
  10. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1. (極限)

4.の性質から,特に (\cosh x, \sinh x) の軌跡は双曲線になります。これが,双曲線関数といわれる所以ですね。なお,三角関数は別名「円関数」と呼ばれます。

三角関数と比較してみましょう。

三角関数双曲線関数
\begin{aligned} \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix} }{2i} \end{aligned} \begin{aligned} \sinh x = \frac{e^x - e^{-x} }{2} \end{aligned}
\begin{aligned} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{aligned} \begin{aligned} \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \end{aligned}
\begin{aligned} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{aligned} \begin{aligned} \tanh x = \frac{\sinh x }{\cosh x} \end{aligned}
\begin{aligned} \sin(-x) = -\sin x \end{aligned} \begin{aligned} \sinh (-x) = - \sinh x \end{aligned}
\begin{aligned} \cos (-x) = \cos x \end{aligned} \begin{aligned} \cosh (-x) = \cosh x \end{aligned}
\begin{aligned} \tan (-x) = -\tan x \end{aligned} \begin{aligned} \tanh (-x) = -\tanh x \end{aligned}
\begin{aligned} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{aligned} \begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \end{aligned}
\begin{aligned} 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \begin{aligned} 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \end{aligned}
\begin{aligned} e^{ix} = \cos x + i \sin x \end{aligned} \begin{aligned} e^x = \cosh x + \sinh x \end{aligned}
\begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos\alpha \sin \beta \end{aligned} \begin{aligned} \sinh(\alpha \pm \beta) = \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh\alpha \sinh \beta \end{aligned}
\begin{aligned} \cos(\alpha\pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\cos\beta \end{aligned} \begin{aligned} \cosh(\alpha\pm \beta) = \cosh\alpha\cosh\beta \pm \sinh\alpha\cosh\beta \end{aligned}
\begin{aligned} \tanh(\alpha\pm\beta) = \frac{\tanh\alpha \pm \tanh\beta}{1\mp \tanh \alpha \tanh \beta} \end{aligned} \begin{aligned} \tanh(\alpha\pm\beta) = \frac{\tanh\alpha \pm \tanh\beta}{1\pm \tanh \alpha \tanh \beta} \end{aligned}
\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{aligned} \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \end{aligned}

符号の違いはあれど,かなり性質は似ていますね。

双曲線関数の微分

双曲線関数の微分の性質も,かなり三角関数と似ています。

定理(双曲線関数の微分)

  1. \displaystyle (\sinh x)' = \cosh x.
  2. \displaystyle (\cosh x)' = \sinh x.
  3. \displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x .

再び三角関数と比較してみましょう。

三角関数双曲線関数
\displaystyle (\sin x)' = \cos x\displaystyle (\sinh x)' = \cosh x
\displaystyle (\cos x)' = -\sin x\displaystyle (\cosh x)' = \sinh x
\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x

これも符号は違えど,性質は似ていますね。

双曲線関数の積分

微分の公式を逆に用いると,積分の公式が作れます。

定理(双曲線関数の積分)

  1. \int \sinh x \, dx = \cosh x + C.
  2. \int \cosh x \, dx = \sinh x + C.
  3. \int \tanh x \, dx = \log( \cosh x) + C = \log(e^x + e^{-x} ) + C'.
  4. \displaystyle \int \frac{1}{\cosh^2 x} \, dx = \tanh x + C.

ただし, C, C' は積分定数。

3.のみは微分の逆とは言えませんね。これは \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| + C を使えば導出できます。

これも三角関数と比較しましょう。

三角関数双曲線関数
\int \sin x \, dx = - \cos x + C \int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cos x \, dx = \sin x + C \int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tan x\, dx = \log |\cos x| + C \int \tanh x \, dx = \log (\cosh x) + C
\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C \displaystyle \int \frac{1}{\cosh^2 x} \, dx = \tanh x + C

sinh, cosh のテイラー展開(マクローリン展開)

双曲線関数,特に \sinh, \cosh の0でのテイラー展開(マクローリン展開)を述べておきましょう。すべて x \in \mathbb{R} で成立します。

定理(sinh, cosh のテイラー展開)

  1. \displaystyle \sinh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\frac{x^7}{7!}+ \cdots
  2. \displaystyle \cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots
三角関数双曲線関数
\displaystyle \sinh x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \displaystyle \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!}+ \cdots
\displaystyle \cosh x = 1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\displaystyle \cosh x = 1+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} +\cdots

双曲線関数の逆関数

グラフを見るとわかるように, \sinh, \tanh はそれぞれ終域を \mathbb{R}, (-1,1) とすることで全単射になります。また \cosh は定義域を x \ge 0 に制限し,終域を y\ge 1 とすることで,全単射になります。これにより,逆関数を考えることができます。

双曲線関数の逆関数は,既存の関数を用いて表すことができます。

定理(双曲線関数の逆関数;逆双曲線関数)

  1. \sinh^{-1} x = \log(x+\sqrt{x^2+1}), \quad x \in \mathbb{R}.
  2. \cosh^{-1} x = \log(x+\sqrt{x^2-1}), \quad x\ge 1 .
  3. \displaystyle \tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}, \quad -1<x<1.

逆双曲線関数を用いると,有名な積分の公式を得ることができます。

逆双曲線関数が関連した積分

a> 0 とする。

  • \color{red} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2} } = \sinh^{-1} \frac{x}{a} + C= \log(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C'.
  • \color{red} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} = \cosh^{-1} \frac{x}{a} + C = \log(x+\sqrt{x^2-a^2}) + C', \,\, x \ge a.

ただし, C, C' は積分定数。

詳しくは以下の記事で解説しています。

類似の関数

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