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【級数】アーベルの収束判定法とその証明

微分積分学(大学)

アーベルの収束判定法と呼ばれる収束判定法について,その主張と証明を紹介しましょう。

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アーベルの収束判定法

定理(アーベルの収束判定法; Abel’s test)

\{\lambda_n\} は単調かつ有界列とし,\sum_{n=1}^\infty a_n は収束(絶対収束または条件収束)するとする。このとき,

\large \color{red} \sum_{n=1}^\infty \lambda_n a_n


は収束する。

早速証明を考えていきましょう。

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アーベルの収束判定法の証明

定理の証明のために,以下の補題を用います。

部分和分

数列 \{a_n\}, \{b_n\} に対し,A_n = \sum_{k=1}^n a_k, B_n = \sum_{k=1}^n b_k とおく。このとき,

\color{red} \sum_{k=1}^n a_n b_n = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}- a_k) B_k


が成立する。

これは,部分積分 \int fg = fG- \int f' G の離散版だと思えます。証明は,以下の記事の途中で解説しています。

これを用いて,定理の証明を行いましょう。

定理の証明

\{\lambda_n\} が単調増加として示すことにする。

S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\; S=\lim_{n\to\infty}S_n とおく。 \{S_n\} は収束するため有界である(→収束する数列は有界であることの証明)。よって, |S_n|\le M としよう。
また,\{\lambda_n\} は有界かつ単調増加なので,収束する(→上に有界な単調増加数列は収束することの証明)。よって, \lambda_n\xrightarrow{n\to\infty} \lambda としよう。

部分和分の公式より,

\!\!\!\!\sum_{k=1}^n \lambda_n a_n = \lambda_n S_n - \sum_{k=1}^{n-1} (\lambda_{k+1}- \lambda_k) S_k. \tag{1}


右辺について,第一項は \lambda_nS_n \xrightarrow{n\to\infty} \lambda S であり,第二項については, \lambda_{k+1}\ge \lambda_{k} であるから,

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1} |(\lambda_{k+1}- \lambda_k) S_k|& \le M \sum_{k=1}^{n-1} (\lambda_{k+1}- \lambda_k ) \\ &\le M (\lambda_{n}-\lambda_1) \\&\le M(\lambda-\lambda_1) \end{aligned}


なので,絶対収束する。したがって, (1) 式の右辺が収束するため,左辺も収束する。

証明終

無事証明できましたね。

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