【ディニの定理】各点収束から一様収束が従う定理とその証明

微分積分学(大学)集合と位相

関数列の収束について,一様収束すれば各点収束することが従います。一方で,一般的に逆は成り立たず,一様収束は各点収束よりもかなり強い収束として知られています。
しかし,各点収束にある条件を加えると,一様収束が言える「ディニの定理 (Dini’s theorem) 」と呼ばれる定理があります。これを紹介しましょう。

ディニの定理の主張

定理(ディニ; Dini)

[0,1] 上で定義された連続関数の列 \{f_n\} f_n(x) \le f_{n+1}(x), \,(x\in [0,1], n\ge1) をみたし,かつ連続関数 f に各点収束するとき,この収束は一様収束である。

ここでポイントなのは次の3点です。

Point
  • 関数列 \{f_n\}連続関数であること
    f_n(x) = \begin{cases} 0 &x = \frac{1}{k},\, k \ge n, \\ 1 &\text{otherwise} \end{cases}, \, f(x) =1
    と定めると,これは単調増加に連続関数へ各点収束するが,一様収束でない。
  • 各点収束は単調増加であること
    \{f_n\} を以下のように定め, f(x)=0 と定めると,これは連続関数列で連続関数へ各点収束するが,一様収束でない。
  • 各点収束先は連続関数であること
    f_n(x) = 1- x^n,\, f(x) = \begin{cases} 1 &0\le x<1, \\ 0 &x=1 \end{cases}
    と定めると,これは連続関数列で単調増加に各点収束するが,一様収束でない。(特に,連続関数列の一様収束極限は必ず連続関数でなければならない。)

また今回は関数の定義域を [0,1] としましたが,本定理は,コンパクトハウスドルフ空間上の実連続関数でも成立します。

証明

証明の理解には,位相空間論の知識が必要です。

証明

\varepsilon > 0 とし,
A_n = \{ x \in [0,1] \mid f(x) - f_n(x) < \varepsilon \}
と定める。 A_n は開集合で, A_n \subset A_{n+1} \,(n\ge1), \bigcup_{n=1}^\infty A_n = [0,1] をみたすので, \{A_n\} は開被覆となる。
よって, [0,1] のコンパクト性より,有限部分被覆が存在する。 A_n の包含関係より,これは,ある N が存在して, A_N = [0,1] となることを意味する。すなわち, n \ge N に対して,
| f(x) - f_n(x) | < \varepsilon \quad (x \in [0,1])
が成立するので,一様収束が言えた。

証明終

位相空間の知識がない場合,証明は難しいですが,定理の内容だけでも理解していただければ幸いです。

類似の定理

各点収束から一様収束が従う定理としては,以下も知られています。参照してみてください。

参考文献

  • 内田伏一「集合と位相」(裳華房,第25版,2009)
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