微分積分学の基本定理とその証明

微分積分学(大学)

微分積分学の基本定理とは,リーマン和による積分と,原始関数の概念をつなげる重要かつ基本的な定理です。「微分と積分は逆の操作であることを保証する定理」と言ってもいいでしょう。これについて,その主張と証明を紹介します。

微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理 (Fundamental theorem of calculus)

f\colon [a,b]\to \mathbb{R} が(リーマン)積分可能かつ原始関数 F を持つならば,

\color{red}\int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a)


が成立する。

高校時代から当たり前に使っていた事実ですが,これは非常に重要です。(高校時代は若干導入の順序が変わるため,あまり意識していなかったと思います。)

左辺はリーマン積分の定義から,「面積」(積分)を指します。一方で,右辺の原始関数 F は「微分の逆」すなわち, F'(x) = f(x) となるように定義されますから,面積は微分の逆で書けると言っているわけです。

微分積分学の基本定理のイメージ図

これを証明していきましょう。

微分積分学の基本定理の証明

証明

区間 [a,b] n 等分割 ( a=x_0 < x_1 < \dots < x_n =b ) する。平均値の定理より,各小区間で

F(x_k)-F(x_{k-1}) = f(t_k)(x_k-x_{k-1})


となる x_{k-1} < t_k < x_k が存在する。よって,

\begin{aligned}F(b)-F(a) &= \sum_{k=1}^n (F(X_k)-F(x_{k-1})) \\ &= \sum_{k=1}^n f(t_k)(x_k-x_{k-1}). \end{aligned}


リーマン積分可能であることから,右辺は n \to\infty \int_a^b f(x)\, dx に収束する。よって結論を得る。

証明終

平均値の定理さえ認めてしまえば,証明は非常にあっさりしたものでしたね。おつかれさまでした。

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