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テイラーの定理・マクローリンの定理とその証明

微分積分学(大学)
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平均値の定理の一般化であるテイラーの定理(テーラーの定理; Taylor’s theorem)とその特殊なものであるマクローリンの定理について,その主張と証明を紹介します。最後には,ラグランジュの剰余項の他にコーシーの剰余項など,さまざまな剰余項についても紹介します。
テイラー展開・マクローリン展開の基ともなるので,理解していきましょう。

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テイラーの定理・マクローリンの定理

まずはテイラーの定理の主張を述べ,その特別な場合であるマクローリンの定理の主張も述べましょう。

テイラーの定理の主張

テイラーの定理 (Taylor’s theorem)

f [a,x] n-1 回連続微分可能(微分可能で f^{(n-1)} が連続)かつ (a,x) n 回微分可能であるとする。このとき,

\small \color{red} \begin{aligned} f(x) ={}&\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \\ ={}& f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \\ &\hspace{50pt}+ \dots+ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \end{aligned}


となる a<c<x が存在する。ここで,最終項 \color{red} R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^nラグランジュの剰余項という。

いま,[a,x], (a,x) 上で考えましたが, [x,a], (x,a) 上で考えても構いません。 a の周りで考えるということが大切です。

この点で,テイラーの定理は f a の周りでの n 階までの多項式展開ということができます。

マクローリンの定理の主張

テイラーの定理において, a = 0 とし, 0 の周りだけを考えているのがマクローリンの定理です。主張を述べましょう。

マクローリンの定理 (Maclaurin’s theorem)

f [0,x] n-1 回連続微分可能(微分可能で f^{(n-1)} が連続)かつ (0,x) n 回微分可能であるとする。このとき,

\small\color{red} \begin{aligned} f(x) ={}&\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n \\ ={}& f(0)+ f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \\ & \hspace{50pt} + \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n \end{aligned}


となる 0<c<x が存在する。

マクローリンの定理は,コーシーの定理の特別な場合と言えます。すなわちマクローリンの定理は f 0 の周りでの n 階までの多項式展開ということができます。

テイラーの定理・マクローリンの定理の証明

証明には「ロルの定理」を用います。これは,平均値の定理の証明の際にも用いたものです(→平均値の定理・ロルの定理とその証明)。

マクローリンの定理は,テイラーの定理で a = 0 としたものにすぎないため,テイラーの定理のみ証明しましょう。

証明

\small \begin{aligned}\varphi(y) ={}& \sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(y) \frac{(x-y)^k}{k!} + R_n \cdot \frac{(x-y)^n}{(x-a)^n} \end{aligned}

とおく。ただし,

\begin{aligned} R_n = f(x) -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \end{aligned}


と定める。このとき, \varphi(y) [a,x] 上連続かつ (a,x) 上微分可能で, \varphi(a) = \varphi(x) = f(x) であることがわかる。よってロルの定理から, \varphi'(c) = 0 となる a<c<x が存在する。ここで,計算により

\begin{aligned} 0 &= \varphi'(c) \\ &= f^{(n)}(c)\frac{(x-c)^{n-1}}{(n-1)!}-R_n\frac{n(x-c)^{n-1}}{(x-a)^n} \end{aligned}


が分かるから,結局 R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n となり,結論を得る。

証明終

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さまざまな剰余項

ここまではラグランジュの剰余項を用いたテイラーの定理を紹介しましたが,他にもさまざまな剰余項があります。ここで代表的なものを紹介しましょう。以下,剰余項部分を

\color{red} \begin{aligned} R_n = f(x) -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \end{aligned}


と定義します。

ラグランジュの剰余項

ラグランジュの剰余項

a<c<x を用いて

\color{red} R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n


となるようにしたもの,すなわち

\small\begin{aligned} f(x) ={}& f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \\ &\hspace{50pt}+ \dots+ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \end{aligned}


としたものをラグランジュの剰余項 (Lagrange’s form of remainder) という。

また,これは 0<\theta<1 を用いて,

R_n = \dfrac{f^{(n)}((1-\theta)a+\theta x)}{n!}(x-a)^n


ともかけます。

コーシーの剰余項

コーシーの剰余項

a<c<x を用いて

\color{red} R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}(x-a)


となるようにしたもの,すなわち

\small\begin{aligned} f(x) ={}& f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \\ &\hspace{10pt}+ \dots+\dfrac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}(x-a) \end{aligned}


としたものをコーシーの剰余項 (Cauchy’s form of remainder) という。

また,これは 0<\theta<1 を用いて,

R_n = \dfrac{f^{(n)}((1-\theta)a+\theta x)}{(n-1)!}(1-\theta)^{n-1}(x-a)^{n}


ともかけます。これの証明は,

\begin{aligned}\varphi(y) ={}& \sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(y) \frac{(x-y)^k}{k!} + R_n \cdot \frac{(x-y)}{(b-a)} \end{aligned}


と定めてロルの定理を用いることで可能です。

ペアノの剰余項

ペアノの剰余項

f^{(n)}(y) y =a で連続とする。このとき,

\color{red} R_n = \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o(|x-a|^n)


(x\to a) と表現したもの,すなわち

\small\begin{aligned} f(x) ={}& f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \\ &\hspace{5pt}+ \dots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o(|x-a|^n) \end{aligned}


としたものをペアノの剰余項 (Peano’s form of remainder) という。

ここで, o(|x-a|^n) \,\,(x\to a)ランダウの記号とよばれ, x\to a としたときに,比の意味で |x-a|^n よりも早く 0 に収束することを示します(→ランダウの記号とは~ビッグオー・スモールオー~)。

今回の場合は,ラグランジュの剰余項を用いると, o(|x-a|^n)

\frac{f^{(n)}(c_x)-f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n


に相当し, |x-a|^n で割ったものを x\to a とすると c_x \to a だから 0 に収束するので,確かにそうなっていますね。

剰余項の積分表現(ベルヌーイの剰余項)

剰余項の積分表現

f^{(n)}(y)[a,x] 上で連続とする。このとき,

\color{red} R_n = \frac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1} f^{(n)} (t) \, dt


と表現したもの,すなわち

\small\begin{aligned} f(x) ={}& f(a)+ f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \\ &+ \dots+\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-t)^{n-1} f^{(n)} (t) \, dt \end{aligned}


としたものを剰余項の積分表現 (Integral form of remainder) という。

これは,部分積分により

\begin{aligned} R_{n-1} &= \frac{1}{(n-2)!}\int_a^x(x-t)^{n-2} f^{(n-1)} (t) \, dt \\ &= \frac{1}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} (a) + R_n \end{aligned}


であることから,帰納法により分かります。

テイラーの定理・マクローリンの定理からテイラー展開・マクローリン展開へ

テイラーの定理・マクローリンの定理は,それぞれ n 次までの多項式近似でした。ここで, n\to\infty としたいと考えるのは,自然なことではないでしょうか。これがテイラー展開・マクローリン展開と呼ばれるものです。定義を述べましょう。

定義(テイラー展開・マクローリン展開)

f C^\infty 級関数とする。 f a の近くでのテイラーの定理の剰余項について R_n \xrightarrow{n\to\infty} 0 となるならば,

\small \color{red}\begin{aligned} &f(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{ f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \\ &= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots \end{aligned}



とできる。これを f a の周りのテイラー展開(テーラー展開; Taylor expansion) という。また, a= 0 としたときを特にマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。

この内容に詳細については,以下の記事で解説しています。