PR

有理数・無理数の稠密性の定義とその証明

微分積分学(大学)集合と位相

大学教養の微分積分学における実数上の稠密性(ちゅうみつせい)の概念について,その定義を紹介し,さらに有理数・無理数が実数上稠密であることを証明します。

スポンサーリンク

実数上における稠密性の定義

まずは実数上における,稠密性の定義を述べましょう。

定義(実数上における稠密性)

A \subset \mathbb{R} とする。 このとき, A \mathbb{R}稠密 (dense) であるとは,
任意の x< y, \,\, x,y\in \mathbb{R} に対して,ある a \in A が存在して,

\color{red} x < a < y


が成立することをいう。

稠密とは,点の隙間はあってもよいが区間の隙間があってはならない,ある意味「ぎっしり」詰まっている集合といえます。一般に,数直線上に厳密に図示することはできません。

このとき,明らかに以下が成立します。

定理(稠密集合の包含)

A\subset B \subset \mathbb{R} とし, A \mathbb{R} 上稠密とする。このとき, B \mathbb{R} 上稠密である。

スポンサーリンク

有理数・無理数は実数上稠密である

定理(有理数・無理数の稠密性)

\mathbb{Q}, \,\, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \mathbb{R} 上稠密である。

すなわち,有理数・無理数は実数上稠密である。

早速証明しましょう。

証明

証明の際,以下の公理を用います(→定義・公理・定理・命題・補題・系を完全理解しよう)。

公理(アルキメデスの原理)

自然数の集合 \mathbb{N} = \{ 1,2,3,\dots\} は上に有界でない。

「公理」としましたが,四則演算・大小関係・実数の連続性を仮定すれば「定理」として従います。

証明していきましょう。

証明

有理数の稠密性

x < y, \,\, x,y \in \mathbb{R} とする。
アルキメデスの原理より, n > 1/(y-x) となる n \in \mathbb{N} が取れる。これにより, ny - nx > 1 が分かる。

再びアルキメデスの原理より, nx < m となる m \in\mathbb{N} を取ると, m, m-1, m-2, \dots のうち, nx < m' をみたす最小の m' (\in \mathbb{Z}) が取れる。このとき m' - nx \le 1 なので,特に nx < m' < ny が従う。よって,

x < \frac{m'}{n} < y


となって, m'/n \in \mathbb{Q} であるから,証明が終わる。

無理数の稠密性

\sqrt{2} は無理数であるから,

\{ \sqrt{2} + r \mid r \in \mathbb{Q}\} \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}


である。左辺は,稠密である有理数の集合を +\sqrt{2} だけ平行移動したものであるから,これも実数上稠密になる。

従って, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} は実数上稠密である。

証明終

なお,一般に有理数の「数」より無理数の「数」の方が圧倒的に多いことが知られています。

位相空間論における稠密の定義

最後にもっと一般化しましょう。

ここからは,位相空間論の基礎知識が必要です。

定義(位相空間論における稠密性)

X を位相空間とする。 A \subset X稠密 (dense) であるとは, \overline{A} = X が成立することである。ここで, \overline{A} A の閉包 (closure) を表す。

実数に自然な位相を入れることで,有理数・無理数は稠密であることが分かります。