実数上関数の収束と数列の収束の同値性とその証明

微分積分学(大学)

実数上の関数において,「関数の収束 \iff 数列の収束」という定理を紹介します。微分積分学において,関数の収束と数列の収束を結びつける重要な定理ですから,しっかりと理解しましょう。

関数の収束⇔数列の収束

定理(関数の収束 \iff 数列の収束)

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \,\, a\in \mathbb{R} とする。このとき,

  1. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = b
    \iff
    \displaystyle a_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a_n = a となる任意の数列 \{a_n\} に対して,\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(a_n) = b
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) 収束する
    \iff
    \displaystyle a_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a_n = a となる任意の数列 \{a_n\} に対して,\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(a_n) が収束する

1.と2.の違いは,収束する値を定めているか,単に収束すると言っているだけなのかの違いです。特に2.では,この主張だけを見ると「数列の取り方によって収束する値は変わってもよい」というように見えます(実際はそんなことはなく,同じ値に収束することを今から証明します)。

なお, f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} としましたが,定義域は a の周りだけで構いません。また,より一般に f\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \mathbb{C} でも同様に成立します。

関数の収束⇔数列の収束の証明

証明には,数列の極限・関数の極限の両方を理解しておかねばなりません。これについて分からない場合は,まず以下の2記事を参照してください。

これをある程度分かった上で,2つの証明を見ていきましょう。

証明

1. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = b
\iff
\displaystyle a_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a_n = a となる任意の数列 \{a_n \} に対して,\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(a_n) = b

\implies について

\varepsilon > 0 とする。すると,ある \delta > 0 が存在して,

0 < |x-a| < \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon


が成立する。このとき a_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a_n = a となる数列を取ると,その定義から,ある N \ge 1 が存在して,

n \ge N \implies 0 < |a_n - a| < \delta


とできる。これはすなわち,

n \ge N \implies |f(a_n) - b | < \varepsilon


を意味し, \lim_{n\to\infty} f(a_n) = b である。

\impliedby について

対偶を示すことにする。 \lim_{x\to a} f(x) = a が成立しないとする。すると,ある \varepsilon > 0 が存在して,任意の \delta > 0 に対して,

0 < |x- a| < \delta \implies |f(x) - b| \ge \varepsilon


が成立する。これより \delta = 1/n として, n 毎に

0 < |a_n - a| < 1/n \implies |f(a_n) -b| \ge \varepsilon


となる a_n が取れる。この \{a_n \} は, a_n \ne a, a_n \xrightarrow{n\to\infty} a をみたすが,常に | f(a_n) - b| \ge \varepsilon が成立するため, f(a_n) b に収束しない。よって対偶が示せた。

2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) 収束する
\iff

\displaystyle a_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a_n = a となる任意の数列 \{a_n\} に対して,\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(a_n) が収束する

\implies について

1.より明らか。

\impliedby について

主張中の任意の \{a_n\} が同じ値に収束することが分かれば,1.が適用できて証明が終わる。よってこれを証明しよう。

背理法で示す。 \{a_n\} , \{a_n^\prime\} で,\displaystyle a_n , a_n^\prime \ne a,\,\, \lim_{n\to\infty} a_n , \lim_{n\to\infty} a_n^\prime = a だが,\displaystyle b = \lim_{n\to\infty} f(a_n) \ne \lim_{n\to\infty} f(a_n^\prime) = b^\prime としよう。このとき,

a^{\prime\prime}_{2n-1} = a_n, \quad a^{\prime\prime}_{2n} = a^\prime_n


として新たな数列 \{ a^{\prime\prime}_n \} を作ると,これは \displaystyle a^{\prime\prime}_n \ne a, \lim_{n\to\infty} a^{\prime\prime}_n = a を満たしているが, f(a^{\prime\prime}_n) は収束しない ( b\ne b^\prime の「両方に近づく」)。よって仮定に矛盾。

証明終

何とか証明できましたね。お疲れさまでした。

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